Composition algebra (original) (raw)
En mathématiques, les algèbres de composition sur un corps commutatif sont des structures algébriques qui généralisent simultanément le corps des nombres complexes, le corps non commutatif des quaternions de Hamilton et l'algèbre des octonions de Cayley. Dans cet article, on note K un corps commutatif (de caractéristique quelconque), et les algèbres ne sont pas supposées être associatives ni – a priori du moins – de dimension finie.
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| dbo:abstract | In mathematics, a composition algebra A over a field K is a not necessarily associative algebra over K together with a nondegenerate quadratic form N that satisfies for all x and y in A. A composition algebra includes an involution called a conjugation: The quadratic form is called the norm of the algebra. A composition algebra (A, ∗, N) is either a division algebra or a split algebra, depending on the existence of a non-zero v in A such that N(v) = 0, called a null vector. When x is not a null vector, the multiplicative inverse of x is . When there is a non-zero null vector, N is an isotropic quadratic form, and "the algebra splits". (en) En mathématiques, les algèbres de composition sur un corps commutatif sont des structures algébriques qui généralisent simultanément le corps des nombres complexes, le corps non commutatif des quaternions de Hamilton et l'algèbre des octonions de Cayley. Dans cet article, on note K un corps commutatif (de caractéristique quelconque), et les algèbres ne sont pas supposées être associatives ni – a priori du moins – de dimension finie. (fr) Dalam matematika, sebuah aljabar komposisi A atas medan K adalah non-asosiatif medan K bersama dengan N yang memenuhi untuk semua x dan y di A. Sebuah aljabar komposisi mencakup yang disebut konjugasi: Bentuk kuadrat disebut norma aljabar. Sebuah aljabar komposisi (A, ∗, N) adalah atau aljabar terbagi, tergantung pada keberadaan bukan nol v di A sedemikian rupa sehingga N(v) = 0, disebut vektor nol. Ketika x adalah bukan vektor nol, dari x adalah . Ketika ada vektor nol bukan nol, N adalah , dan "aljabar terbagi". (in) 数学における体 K 上の合成代数（ごうせいだいすう、composition algebra）は、K 上の（必ずしも結合的でない）単位的多元環 A で、条件 を満たす非退化二次形式 N を持つ。合成代数のデータには共軛と呼ばれる対合 x ↦ x* も含まれる。付随する二次形式は N(x) = xx* として与えられ、しばしばその合成代数のノルムと呼ばれる（その意味で合成代数を「ノルム多元環」ともいうが、関数解析学にいうノルム代数とは同じものでないことに注意）。 合成代数 (A, ∗, N) は多元体（ノルム多元体）か、さもなくば分解型多元環 (split algebra) であり、それはヌルベクトル（N(v) = 0 を満たす非零元 v ∈ A）の存在によって決まる。実際、ヌルベクトルが全く存在しないとき、非零元 x の乗法逆元は x*/N(x) が与えるから、その代数は多元体である。他方ヌルベクトルが存在するとき、N は等方二次形式と呼ばれ、その代数は「分裂」(split) する（または分解型 (split type) である）と言う。 (ja) 추상대수학에서 합성 대수(合成代數, 영어: composition algebra)는 대략 “절댓값의 제곱이 잘 정의되는” 대수 구조이다. 구체적으로, 이는 (결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않을 수 있는) 쌍선형 이항 연산이 주어져 있으며, 이와 호환되는 (양의 정부호가 아닐 수 있는) 비퇴화 쌍선형 형식 또는 비퇴화 이차 형식이 주어진 벡터 공간으로 구성된다. (ko) В математиці композитна алгебра A — така алгебра над полем K з невиродженою квадратичною формою N, що задовільняє Композиційна алгебра також включає інволюцію яку називають спряженням: Квадратична форма називається нормою алгебри. Композиційна алгебра (A, ∗, N) є або алгеброю з діленням або спліт алгеброю, в залежності від того чи вона містить не нульові елементи v для яких N(v) = 0. Такі елементи називають null-вектори. Якщо x не є null-вектором, оберненим елементом до нього є . (uk) |
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