Fenchel's duality theorem (original) (raw)
In mathematics, Fenchel's duality theorem is a result in the theory of convex functions named after Werner Fenchel. Let ƒ be a proper convex function on Rn and let g be a proper concave function on Rn. Then, if regularity conditions are satisfied, where ƒ * is the convex conjugate of ƒ (also referred to as the Fenchel–Legendre transform) and g * is the of g. That is,
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In mathematics, Fenchel's duality theorem is a result in the theory of convex functions named after Werner Fenchel. Let ƒ be a proper convex function on Rn and let g be a proper concave function on Rn. Then, if regularity conditions are satisfied, where ƒ * is the convex conjugate of ƒ (also referred to as the Fenchel–Legendre transform) and g * is the of g. That is, (en) 数学においてフェンシェルの双対性定理（フェンシェルのそうついせいていり、英: Fenchel's duality theorem）は、の名にちなむ、凸函数の理論における一結果である。 ƒ を Rn 上の真凸函数とし、g を Rn を真凹函数とする。このとき、正則性の条件が満たされるなら、 が成り立つ。ここで ƒ * は ƒ の凸共役（フェンシェル＝ルジャンドル変換とも呼ばれる）であり、g * は g の凹共役である。すなわち、次が成り立つ。 (ja) Теорема двоїстості Фенхеля — це результат теорії опуклих функцій, що носить ім'я німецького математика . Нехай ƒ — на , а g — власна увігнута функція на . Тоді, якщо задоволені умови регулярності, де є опуклим спряженням функції ƒ (яке називають перетворенням Фенхеля — Лежандра), а — увігнутим спряженням функції g. Тобто, (uk) Теорема двойственности Фенхеля — это результат в теории выпуклых функций, носящий имя немецкого математика Вернера Фенхеля. Пусть ƒ — , а g — собственная вогнутая функция на . Тогда, если удовлетворены условия регулярности, где является выпуклым сопряжением функции ƒ (которое называется преобразованием Фенхеля — Лежандра), а — вогнутым сопряжением функции g. То есть, (ru) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/FencheDual02.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.org/details/convexanalysis00rock%7C https://archive.org/details/convexanalysis00rock/page/n343 |
| dbo:wikiPageID | 3077734 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 4669 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 995903306 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Moreau's_theorem dbr:Continuous_function dbr:Bounded_operator dbr:Convex_conjugate dbr:Lower_semi-continuous dbr:Perturbation_function dbr:Banach_spaces dbr:Weak_duality dbr:Werner_Fenchel dbr:Linear_map dbr:Algebraic_interior dbc:Convex_optimization dbr:Legendre_transformation dbr:Strong_duality dbc:Theorems_in_analysis dbr:Supremum dbr:Proper_convex_function dbr:Wolfe_duality dbr:Dual_problem dbr:Adjoint_operator dbr:Concave_conjugate dbr:File:FencheDual02.png dbr:File:FenchelDual01.png |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_book dbt:Reflist |
| dcterms:subject | dbc:Convex_optimization dbc:Theorems_in_analysis |
| rdf:type | yago:WikicatTheoremsInAnalysis yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | In mathematics, Fenchel's duality theorem is a result in the theory of convex functions named after Werner Fenchel. Let ƒ be a proper convex function on Rn and let g be a proper concave function on Rn. Then, if regularity conditions are satisfied, where ƒ * is the convex conjugate of ƒ (also referred to as the Fenchel–Legendre transform) and g * is the of g. That is, (en) 数学においてフェンシェルの双対性定理（フェンシェルのそうついせいていり、英: Fenchel's duality theorem）は、の名にちなむ、凸函数の理論における一結果である。 ƒ を Rn 上の真凸函数とし、g を Rn を真凹函数とする。このとき、正則性の条件が満たされるなら、 が成り立つ。ここで ƒ * は ƒ の凸共役（フェンシェル＝ルジャンドル変換とも呼ばれる）であり、g * は g の凹共役である。すなわち、次が成り立つ。 (ja) Теорема двоїстості Фенхеля — це результат теорії опуклих функцій, що носить ім'я німецького математика . Нехай ƒ — на , а g — власна увігнута функція на . Тоді, якщо задоволені умови регулярності, де є опуклим спряженням функції ƒ (яке називають перетворенням Фенхеля — Лежандра), а — увігнутим спряженням функції g. Тобто, (uk) Теорема двойственности Фенхеля — это результат в теории выпуклых функций, носящий имя немецкого математика Вернера Фенхеля. Пусть ƒ — , а g — собственная вогнутая функция на . Тогда, если удовлетворены условия регулярности, где является выпуклым сопряжением функции ƒ (которое называется преобразованием Фенхеля — Лежандра), а — вогнутым сопряжением функции g. То есть, (ru) |
| rdfs:label | Fenchel's duality theorem (en) フェンシェルの双対性定理 (ja) Теорема двойственности Фенхеля (ru) Теорема двоїстості Фенхеля (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Fenchel's duality theorem yago-res:Fenchel's duality theorem wikidata:Fenchel's duality theorem dbpedia-ja:Fenchel's duality theorem dbpedia-ru:Fenchel's duality theorem dbpedia-uk:Fenchel's duality theorem https://global.dbpedia.org/id/4jMZ1 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Fenchel's_duality_theorem?oldid=995903306&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/FencheDual02.png wiki-commons:Special:FilePath/FenchelDual01.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Fenchel's_duality_theorem |
| is dbo:knownFor of | dbr:Werner_Fenchel |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Fenchel's_Duality_Theorem dbr:Fenche_duality dbr:Fenchel-Rockafellar_duality dbr:Fenchel-Rockafellar_duality_theorem dbr:Fenchel_duality |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_dualities dbr:List_of_numerical_analysis_topics dbr:Convex_conjugate dbr:Optimal_design dbr:Werner_Fenchel dbr:Duality_(optimization) dbr:Legendre_transformation dbr:Fenchel's_Duality_Theorem dbr:List_of_theorems dbr:Fenche_duality dbr:Fenchel-Rockafellar_duality dbr:Fenchel-Rockafellar_duality_theorem dbr:Fenchel_duality |
| is dbp:knownFor of | dbr:Werner_Fenchel |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Fenchel's_duality_theorem |
