Isoperimetric dimension (original) (raw)
In mathematics, the isoperimetric dimension of a manifold is a notion of dimension that tries to capture how the large-scale behavior of the manifold resembles that of a Euclidean space (unlike the topological dimension or the Hausdorff dimension which compare different local behaviors against those of the Euclidean space).
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| dbo:abstract | In mathematics, the isoperimetric dimension of a manifold is a notion of dimension that tries to capture how the large-scale behavior of the manifold resembles that of a Euclidean space (unlike the topological dimension or the Hausdorff dimension which compare different local behaviors against those of the Euclidean space). In the Euclidean space, the isoperimetric inequality says that of all bodies with the same volume, the ball has the smallest surface area. In other manifolds it is usually very difficult to find the precise body minimizing the surface area, and this is not what the isoperimetric dimension is about. The question we will ask is, what is approximately the minimal surface area, whatever the body realizing it might be. (en) En matemáticas, la dimensión isoperimétrica de una variedad es una noción de dimensión que trata de capturar cómo el comportamiento a gran escala de la variedad se parece al de un espacio euclidiano (a diferencia de la dimensión topológica o la dimensión de Hausdorff que compara diferentes comportamientos locales con los del espacio euclidiano). En el espacio euclidiano, la desigualdad isoperimétrica dice que de todos los cuerpos con el mismo volumen, la pelota tiene el área superficial más pequeña. En otras variedades suele ser muy difícil encontrar el cuerpo preciso minimizando el área superficial, y de eso no se trata la dimensión isoperimétrica. (es) In matematica, la dimensione isoperimetrica di una varietà è una nozione di dimensione che cerca di cogliere come il comportamento a grande scala della varietà ricordi quello di uno spazio euclideo (a differenza della dimensione topologica o della dimensione di Hausdorff che confrontano i comportamenti locali con quelli dello spazio euclideo). Nello spazio euclideo, la disuguaglianza isoperimetrica afferma che fra tutti i corpi con un fissato volume, la sfera ha l'area minore. In altre varietà è di solito difficile trovare il corpo con la minore area superficiale, e questo è il motivo per introdurre la dimensione isoperimetrica. La domanda che ci si pone è che cosa sia approssimativamente la minima area superficiale, qualsiasi sia il corpo che gode di questa proprietà. (it) |
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