Lax equivalence theorem (original) (raw)
في التحليل العددي ، نظرية التكافؤ للاكس (بالإنجليزية: Lax equivalence theorem) هي النظرية التأسيسية لدراسة وتحليل طرق الفروق المحدودة للحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية. وتنص على أن أي طريقة فروق محدودة متناسقة لحل مسألة قيمة مبدأية خطية معرفة جيدا تكون ذات نهاية متتالية فقط إذا كانت مستقرة عدديا. تم إنشاء النظرية بواسطة بيتر لاكس وروبرت ريتمير.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | في التحليل العددي ، نظرية التكافؤ للاكس (بالإنجليزية: Lax equivalence theorem) هي النظرية التأسيسية لدراسة وتحليل طرق الفروق المحدودة للحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية. وتنص على أن أي طريقة فروق محدودة متناسقة لحل مسألة قيمة مبدأية خطية معرفة جيدا تكون ذات نهاية متتالية فقط إذا كانت مستقرة عدديا. تم إنشاء النظرية بواسطة بيتر لاكس وروبرت ريتمير. (ar) In der numerischen Mathematik ist der Äquivalenzsatz von Lax der fundamentale Satz bei der Analyse der Finite-Differenzen-Methode für die numerische Lösung von partiellen Differenzialgleichungen.Die Behauptung ist, dass für ein korrekt gestelltes lineares Anfangswertproblem eine konsistente Methode genau dann konvergent ist, wenn sie stabil ist. Der Satz bedeutet, dass zwar die erwünschte Konvergenz der Lösung der Finite-Differenzen-Methode für die Lösung der partiellen Differentialgleichung nur sehr schwer feststellbar ist, da die numerische Lösung rekursiv definiert ist. Jedoch ist die Konsistenz der Methode, d. h., dass die numerische Methode die Differenzialgleichung approximiert, einfach zu überprüfen, und Stabilität ist üblicherweise viel einfacher zu zeigen als die Konvergenz (dies würde ohnehin nachzuweisen sein, um zu zeigen, dass Rundungsfehler die Lösung nicht verfälschen). Daher wird Konvergenz üblicherweise über den Äquivalenzsatz gezeigt. Stabilität heißt in diesem Zusammenhang, dass eine Matrixnorm der Matrix, die in der Iteration benutzt wird, höchstens Eins ist. Dies wird (praktische) Lax-Richtmyer-Stabilität genannt. Oft wird stattdessen eine Von-Neumann-Stabilitätsanalyse durchgeführt, obgleich eine Von-Neumann-Stabilität eine Lax-Richtmyer-Stabilität nur in bestimmten Fällen impliziert. Der Satz ist nach Peter Lax benannt. Manchmal wird er auch nach Peter Lax und Robert Richtmyer als Lax-Richtmyer-Satz bezeichnet. (de) In numerical analysis, the Lax equivalence theorem is a fundamental theorem in the analysis of finite difference methods for the numerical solution of partial differential equations. It states that for a consistent finite difference method for a well-posed linear initial value problem, the method is convergent if and only if it is stable. The importance of the theorem is that while the convergence of the solution of the finite difference method to the solution of the partial differential equation is what is desired, it is ordinarily difficult to establish because the numerical method is defined by a recurrence relation while the differential equation involves a differentiable function. However, consistency—the requirement that the finite difference method approximates the correct partial differential equation—is straightforward to verify, and stability is typically much easier to show than convergence (and would be needed in any event to show that round-off error will not destroy the computation). Hence convergence is usually shown via the Lax equivalence theorem. Stability in this context means that a matrix norm of the matrix used in the iteration is at most unity, called (practical) Lax–Richtmyer stability. Often a von Neumann stability analysis is substituted for convenience, although von Neumann stability only implies Lax–Richtmyer stability in certain cases. This theorem is due to Peter Lax. It is sometimes called the Lax–Richtmyer theorem, after Peter Lax and Robert D. Richtmyer. (en) En analyse numérique, le théorème de Lax prévoit que, pour résoudre un problème évolutif linéaire avec condition initiale qui est supposé être bien posé, ceci à l’aide d’un schéma numérique consistant, la stabilité du schéma est une condition nécessaire et suffisante pour assurer sa convergence. Les notions de consistance, de stabilité et de convergence se réfèrent ici à une même norme. On doit ce théorème à Peter Lax, bien qu'il soit parfois appelé théorème de Lax–Richtmyer, d'après Peter Lax et (en). (fr) ラックスの等価定理（英: Lax equivalence theorem）またはラックス・リヒトマイヤーの定理とは、数値解析の分野で偏微分方程式を有限差分法で解くときに基本的な定理である。この定理は「well-posedな線形初期値問題との適合性を満たす有限差分法は、その解法が安定なとき，そしてそのときに限り収束する。」すなわち「安定性＋適合性が収束性の必要十分条件である」という定理である。この定理により、整合かつ安定な解法は格子幅→0で格子に依存しない解に収束することが保証される。この定理はピーター・ラックスによる。ラックスの同等定理、ラックスの等価原理とも呼ばれる。 定理に出てくる用語はそれぞれ以下のように定義される。 適合性または整合性 (consistency)空間および時間を離散化した時の格子幅を限りなく0に近づけたときに、離散化方程式と元の微分方程式の差が0に収束することである。この差は一般には格子点についてのテイラー展開によって評価される。安定性どのような原因による誤差（丸め誤差、打切り誤差など）も計算過程で成長しないことである。数値解析の安定性はノイマンの方法により解析される。収束格子幅を限りなく0に近づけたときに、離散化方程式の解が元の微分方程式の厳密解に収束することである。数値解析をするときに求められる正しい解とは、この意味での収束解のことである。 この定理の重要性は、有限差分法の解が偏微分方程式の解へ収束することが望まれるが、通常それを確立することは困難であるということである。それは、数値解法は漸化式で定義される一方、微分方程式は微分可能な関数を含むからである。しかし、適合性（有限差分法が偏微分方程式を正しく近似すること）が直接に検証され、安定性を示すこと（これは丸め誤差が計算を破壊しないことを示すために任意のイベントで必要とされるであろう）は通常収束性よりやさしい。したがって収束性は通常この定理によって示される。 この文脈では安定性とは反復計算で用いられる行列の行列ノルムがほとんど 1 であること（ラックス・リヒトマイヤー安定性と呼ばれる）を意味している。フォン・ノイマンの安定性解析が便利なのでよく利用されるが、この解析はあるケースのラックス・リヒトマイヤー安定性のみを示している。 (ja) Em análise numérica, o Teorema de Equivalência de Lax é o teorema fundamental na análise do Método das diferenças finitas para a solução numérica de equações diferenciais parciais. O teorema diz que para um problema de valor inicial bem-posto e um método de discretização consistente, estabilidade é condição necessária e suficiente para a convergência.O teorema mostra que para analisar um problema de valor inicial ou que dependa do tempo, duas tarefas devem ser feitas: 1. * Analisar a condição de consistência; isto leva a determinação do erro de truncamento e sua ordem. 2. * Analisar as propriedades de estabilidade. Neste teorema, o que se deseja é que haja a convergência da solução numérica(solução do método) para a solução da equação diferencial, mas isto é normalmente difícil de estabelecer porque o método numérico é definido por uma Relação de recorrência, enquanto que a equação diferencial envolve uma função diferenciável. Contudo, consistência e estabilidade, são bem mais fáceis de serem provados do que a convergência, a qual seria necessário provar que os erros de round-off não destroem a solução numérica, por isso, a convergência geralmente é mostrada através do teorema de equivalência de Lax. (pt) |
| dbo:wikiPageID | 7018809 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 2953 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1117708281 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Peter_Lax dbr:Robert_D._Richtmyer dbr:Unity_(mathematics) dbr:Matrix_norm dbr:Numerical_stability dbr:Well-posed dbr:Finite_difference_method dbr:Numerical_analysis dbr:Numerical_methods_for_ordinary_differential_equations dbr:Partial_differential_equation dbr:Differential_equation dbr:Recurrence_relation dbc:Numerical_differential_equations dbc:Theorems_in_analysis dbr:Differentiable_function dbr:Initial_value_problem dbr:Round-off_error dbr:Von_Neumann_stability_analysis |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Reflist dbt:Mathapplied-stub |
| dcterms:subject | dbc:Numerical_differential_equations dbc:Theorems_in_analysis |
| gold:hypernym | dbr:Theorem |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheoremsInAnalysis yago:WikicatNumericalDifferentialEquations yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:DifferentialEquation106670521 yago:Equation106669864 yago:MathematicalStatement106732169 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 yago:WikicatDifferentialEquations |
| rdfs:comment | في التحليل العددي ، نظرية التكافؤ للاكس (بالإنجليزية: Lax equivalence theorem) هي النظرية التأسيسية لدراسة وتحليل طرق الفروق المحدودة للحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية. وتنص على أن أي طريقة فروق محدودة متناسقة لحل مسألة قيمة مبدأية خطية معرفة جيدا تكون ذات نهاية متتالية فقط إذا كانت مستقرة عدديا. تم إنشاء النظرية بواسطة بيتر لاكس وروبرت ريتمير. (ar) En analyse numérique, le théorème de Lax prévoit que, pour résoudre un problème évolutif linéaire avec condition initiale qui est supposé être bien posé, ceci à l’aide d’un schéma numérique consistant, la stabilité du schéma est une condition nécessaire et suffisante pour assurer sa convergence. Les notions de consistance, de stabilité et de convergence se réfèrent ici à une même norme. On doit ce théorème à Peter Lax, bien qu'il soit parfois appelé théorème de Lax–Richtmyer, d'après Peter Lax et (en). (fr) In der numerischen Mathematik ist der Äquivalenzsatz von Lax der fundamentale Satz bei der Analyse der Finite-Differenzen-Methode für die numerische Lösung von partiellen Differenzialgleichungen.Die Behauptung ist, dass für ein korrekt gestelltes lineares Anfangswertproblem eine konsistente Methode genau dann konvergent ist, wenn sie stabil ist. Der Satz ist nach Peter Lax benannt. Manchmal wird er auch nach Peter Lax und Robert Richtmyer als Lax-Richtmyer-Satz bezeichnet. (de) In numerical analysis, the Lax equivalence theorem is a fundamental theorem in the analysis of finite difference methods for the numerical solution of partial differential equations. It states that for a consistent finite difference method for a well-posed linear initial value problem, the method is convergent if and only if it is stable. This theorem is due to Peter Lax. It is sometimes called the Lax–Richtmyer theorem, after Peter Lax and Robert D. Richtmyer. (en) ラックスの等価定理（英: Lax equivalence theorem）またはラックス・リヒトマイヤーの定理とは、数値解析の分野で偏微分方程式を有限差分法で解くときに基本的な定理である。この定理は「well-posedな線形初期値問題との適合性を満たす有限差分法は、その解法が安定なとき，そしてそのときに限り収束する。」すなわち「安定性＋適合性が収束性の必要十分条件である」という定理である。この定理により、整合かつ安定な解法は格子幅→0で格子に依存しない解に収束することが保証される。この定理はピーター・ラックスによる。ラックスの同等定理、ラックスの等価原理とも呼ばれる。 定理に出てくる用語はそれぞれ以下のように定義される。 適合性または整合性 (consistency)空間および時間を離散化した時の格子幅を限りなく0に近づけたときに、離散化方程式と元の微分方程式の差が0に収束することである。この差は一般には格子点についてのテイラー展開によって評価される。安定性どのような原因による誤差（丸め誤差、打切り誤差など）も計算過程で成長しないことである。数値解析の安定性はノイマンの方法により解析される。収束格子幅を限りなく0に近づけたときに、離散化方程式の解が元の微分方程式の厳密解に収束することである。数値解析をするときに求められる正しい解とは、この意味での収束解のことである。 (ja) Em análise numérica, o Teorema de Equivalência de Lax é o teorema fundamental na análise do Método das diferenças finitas para a solução numérica de equações diferenciais parciais. O teorema diz que para um problema de valor inicial bem-posto e um método de discretização consistente, estabilidade é condição necessária e suficiente para a convergência.O teorema mostra que para analisar um problema de valor inicial ou que dependa do tempo, duas tarefas devem ser feitas: (pt) |
| rdfs:label | نظرية تكافؤ لاكس (ar) Äquivalenzsatz von Lax (de) Théorème de Lax (fr) Lax equivalence theorem (en) ラックスの等価定理 (ja) Teorema de equivalência de Lax (pt) |
| owl:sameAs | freebase:Lax equivalence theorem yago-res:Lax equivalence theorem wikidata:Lax equivalence theorem dbpedia-ar:Lax equivalence theorem dbpedia-de:Lax equivalence theorem dbpedia-fr:Lax equivalence theorem dbpedia-ja:Lax equivalence theorem dbpedia-pt:Lax equivalence theorem https://global.dbpedia.org/id/2QVkf |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Lax_equivalence_theorem?oldid=1117708281&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Lax_equivalence_theorem |
| is dbo:knownFor of | dbr:Peter_Lax dbr:Robert_D._Richtmyer |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Equivalence_theorem |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Lax-Richtmyer_theorem dbr:Lax–Richtmyer_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Peter_Lax dbr:Robert_D._Richtmyer dbr:List_of_numerical_analysis_topics dbr:Equivalence_theorem dbr:Numerical_stability dbr:Linear_multistep_method dbr:Von_Neumann_stability_analysis dbr:Lax-Richtmyer_theorem dbr:Lax–Richtmyer_theorem |
| is dbp:knownFor of | dbr:Peter_Lax dbr:Robert_D._Richtmyer |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Lax_equivalence_theorem |