Leibniz formula for determinants (original) (raw)
En álgebra lineal, la fórmula de Leibniz expresa el determinante de una matriz cuadrada en términos de permutaciones de los elementos de la matriz. La fórmula debe su nombre a Gottfried Leibniz, la fórmula para una matriz de orden es: donde y donde sgn es la función signo de permutaciones en el grupo de permutación Sn, que devuelve +1 si la permutación es par y −1 si es impar. Otra notación común usada para la fórmula utiliza símbolos de Levi-Civita y la notación de Einstein, quedando: que puede ser más familiar para los físicos.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En álgebra lineal, la fórmula de Leibniz expresa el determinante de una matriz cuadrada en términos de permutaciones de los elementos de la matriz. La fórmula debe su nombre a Gottfried Leibniz, la fórmula para una matriz de orden es: donde y donde sgn es la función signo de permutaciones en el grupo de permutación Sn, que devuelve +1 si la permutación es par y −1 si es impar. Otra notación común usada para la fórmula utiliza símbolos de Levi-Civita y la notación de Einstein, quedando: que puede ser más familiar para los físicos. Evaluar directamente la fórmula de Leibniz requiere operaciones en general. Esto es, necesita un número de operaciones asintóticamente proporcional a n factorial, ya que n! es el número de permutaciones de orden n, lo que resulta aparatoso para valores grandes de n. En su lugar, el determinante se puede evaluar en O(n3) operaciones mediante la descomposición LU de la matriz . En ese caso, , y los determinantes de las matrices triangulares L y U serán los productos de las entradas de sus respectivas diagonales principales. En la práctica de álgebra lineal, sin embargo, rara vez se requiere el cálculo explícito del determinante. Ver, por ejemplo, Trefethen y Bau (1997). (es) In algebra, the Leibniz formula, named in honor of Gottfried Leibniz, expresses the determinant of a square matrix in terms of permutations of the matrix elements. If is an matrix, where is the entry in the -th row and -th column of , the formula is where is the sign function of permutations in the permutation group , which returns and for even and odd permutations, respectively. Another common notation used for the formula is in terms of the Levi-Civita symbol and makes use of the Einstein summation notation, where it becomes which may be more familiar to physicists. Directly evaluating the Leibniz formula from the definition requires operations in general—that is, a number of operations asymptotically proportional to factorial—because is the number of order- permutations. This is impractically difficult for even relatively small . Instead, the determinant can be evaluated in operations by forming the LU decomposition (typically via Gaussian elimination or similar methods), in which case and the determinants of the triangular matrices and are simply the products of their diagonal entries. (In practical applications of numerical linear algebra, however, explicit computation of the determinant is rarely required.) See, for example, . The determinant can also be evaluated in fewer than operations by reducing the problem to matrix multiplication, but most such algorithms are not practical. (en) 数学の線型代数学における行列式の明示公式 (英: explicit formula)あるいはライプニッツの公式 (英: Leibniz formula) とは、正方行列の行列式をその行列の成分と置換を用いて陽に表したものである。ゴットフリート・ライプニッツに敬意を表してこの名がある。 明示公式n次正方行列 A に対して、その (i, j)成分を ai,j で表すと、その行列式 det(A) は次の式で表せる：ここに sgn は置換群 Sn に属する置換に対する符号を与える函数である。 物理学などではレヴィ゠チヴィタ記号 ε とアインシュタインの和の規約に則り のように表すこともよくある。 ライプニッツの公式によって行列式を定義する場合、式に従って行列式を直接計算しようとすれば、その計算量は一般に Ω(n!⋅n)—つまり計算回数は n の階乗に漸近的に比例—となる（長さ n の置換の総数は n! であったことを思い出そう）。これは n が大きければそのような計算は実用的でないことを意味している。それでも、（典型的にはガウス消去法などを通じて）LU分解 A = LU が得られているならば、計算量は O(n3) まで抑えられる—なぜならば、det(A) = det(L)det(U) であり、また L, U は三角行列であるからそれらの行列式は単に対角成分を全て掛けるだけで求められる（ただし、数値線形代数での実用的な応用で明示公式を用いることは稀である）。例えば などを見よ。 (ja) Em álgebra, a fórmula de Leibniz, batizada em homenagem a Gottfried Leibniz, expressa o determinante de uma matriz quadrada em termos de permutações dos elementos da matriz. Se A for uma matriz n×n, onde ai,j é a entrada na iésima ( a) linha e jésima coluna de A, a fórmula é onde sgn é a função de sinal de permutações no grupo de permutação Sn, que retorna +1 e -1 para permutações pares e ímpares, respectivamente. Outra notação comum usada para a fórmula é em termos do símbolo de Levi-Civita e faz uso da notação de soma de Einstein, onde se torna o que pode ser mais familiar para os físicos. Avaliando diretamente a fórmula de Leibniz a partir da definição requer operações em geral — isto é, várias operações assintoticamente proporcionais an fatorial - porque n! é o número de permutações de ordem n. Isso é impraticavelmente difícil para n grande. Em vez disso, o determinante pode ser avaliado em O(n3) operações formando a decomposição LU (normalmente por meio de eliminação de Gauss ou métodos semelhantes), caso em que e os determinantes das matrizes triangulares L e Usão simplesmente produtos de suas entradas diagonais. (Em aplicações práticas de álgebra linear numérica, no entanto, o cálculo explícito do determinante raramente é necessário.) Veja, por exemplo, Trefethen, Bau (1997). (pt) Формула Лейбніца виражає визна́чник квадратної матриці через перестановки елементів матриці. Для n×n матриці формула така де sgn — парність перестановки у групі перестановок Sn, яка повертає +1 і −1 для парних і непарних, відповідно. Інший поширений запис цієї формули із використанням символу Леві-Чивіти і нотації Ейнштейна може бути більш знайомим для фізиків. Пряме обчислення формули Лейбніца з означення потребує дій, тобто кількість операцій асимптотично пропорційна до n факторіал — бо n! це число перестановок порядку n. Це непрактично складно для великих n. Натомість, визначник можна обчислити за O(n3) дій, використовуючи LU розклад матриці (зазвичай через метод Гауса або подібний), в цьому випадку а визначники трикутних матриць L і U є просто добутками їх діагональних елементів. (Однак, у практичному застосуванні чисельної лінійної алгебри, явний розрахунок визначника необхідний рідко.) (uk) Формула Лейбница — выражение для определителя квадратной матрицы размера через перестановки её элементов: где — функция знака перестановки в группе перестановок , которая возвращает +1 или −1 для чётных и нечётных перестановок соответственно. С использованием символа Леви-Чивиты и соглашений о суммировании Эйнштейна: . Названа в честь Готфрида Лейбница, который ввёл понятие определителя и способ его вычисления в 1678 году. Единственная , обращающаяся в единицу на единичной матрице — это функция, определённая формулой Лейбница; таким образом, определитель может быть однозначно определён как знакопеременная мультилинейная функция, полилинейная относительно столбцов, обращающаяся в единицу на единичной матрице. (ru) |
| dbo:wikiPageID | 5361510 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 8284 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1115953724 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Multilinear_map dbr:Determinant dbr:Permutation dbc:Articles_containing_proofs dbr:Cramer's_rule dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Matrix_multiplication_algorithm dbr:Gaussian_elimination dbr:LU_decomposition dbr:Alternating_map dbr:Alternatization dbr:Levi-Civita_symbol dbr:Square_matrix dbr:Algebra dbc:Linear_algebra dbc:Determinants dbc:Gottfried_Wilhelm_Leibniz dbr:Even_and_odd_permutations dbr:Gottfried_Leibniz dbr:Laplace_expansion dbr:Society_for_Industrial_and_Applied_Mathematics dbr:Factorial dbr:Permutation_group dbr:Einstein_summation_notation |
| dbp:id | Determinant&oldid=12692 (en) |
| dbp:title | Determinant (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_book dbt:Harvtxt dbt:Portal dbt:Short_description dbt:SpringerEOM |
| dct:subject | dbc:Articles_containing_proofs dbc:Linear_algebra dbc:Determinants dbc:Gottfried_Wilhelm_Leibniz |
| rdf:type | yago:Abstraction100002137 yago:Cognition100023271 yago:CognitiveFactor105686481 yago:Determinant105692419 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:WikicatDeterminants |
| rdfs:comment | En álgebra lineal, la fórmula de Leibniz expresa el determinante de una matriz cuadrada en términos de permutaciones de los elementos de la matriz. La fórmula debe su nombre a Gottfried Leibniz, la fórmula para una matriz de orden es: donde y donde sgn es la función signo de permutaciones en el grupo de permutación Sn, que devuelve +1 si la permutación es par y −1 si es impar. Otra notación común usada para la fórmula utiliza símbolos de Levi-Civita y la notación de Einstein, quedando: que puede ser más familiar para los físicos. (es) In algebra, the Leibniz formula, named in honor of Gottfried Leibniz, expresses the determinant of a square matrix in terms of permutations of the matrix elements. If is an matrix, where is the entry in the -th row and -th column of , the formula is where is the sign function of permutations in the permutation group , which returns and for even and odd permutations, respectively. Another common notation used for the formula is in terms of the Levi-Civita symbol and makes use of the Einstein summation notation, where it becomes which may be more familiar to physicists. (en) 数学の線型代数学における行列式の明示公式 (英: explicit formula)あるいはライプニッツの公式 (英: Leibniz formula) とは、正方行列の行列式をその行列の成分と置換を用いて陽に表したものである。ゴットフリート・ライプニッツに敬意を表してこの名がある。 明示公式n次正方行列 A に対して、その (i, j)成分を ai,j で表すと、その行列式 det(A) は次の式で表せる：ここに sgn は置換群 Sn に属する置換に対する符号を与える函数である。 物理学などではレヴィ゠チヴィタ記号 ε とアインシュタインの和の規約に則り のように表すこともよくある。 (ja) Em álgebra, a fórmula de Leibniz, batizada em homenagem a Gottfried Leibniz, expressa o determinante de uma matriz quadrada em termos de permutações dos elementos da matriz. Se A for uma matriz n×n, onde ai,j é a entrada na iésima ( a) linha e jésima coluna de A, a fórmula é onde sgn é a função de sinal de permutações no grupo de permutação Sn, que retorna +1 e -1 para permutações pares e ímpares, respectivamente. Outra notação comum usada para a fórmula é em termos do símbolo de Levi-Civita e faz uso da notação de soma de Einstein, onde se torna o que pode ser mais familiar para os físicos. (pt) Формула Лейбница — выражение для определителя квадратной матрицы размера через перестановки её элементов: где — функция знака перестановки в группе перестановок , которая возвращает +1 или −1 для чётных и нечётных перестановок соответственно. С использованием символа Леви-Чивиты и соглашений о суммировании Эйнштейна: . Названа в честь Готфрида Лейбница, который ввёл понятие определителя и способ его вычисления в 1678 году. (ru) Формула Лейбніца виражає визна́чник квадратної матриці через перестановки елементів матриці. Для n×n матриці формула така де sgn — парність перестановки у групі перестановок Sn, яка повертає +1 і −1 для парних і непарних, відповідно. Інший поширений запис цієї формули із використанням символу Леві-Чивіти і нотації Ейнштейна може бути більш знайомим для фізиків. (uk) |
| rdfs:label | Fórmula de Leibniz para el cálculo de determinantes (es) Leibniz formula for determinants (en) 行列式に対するライプニッツの明示公式 (ja) Fórmula de Leibniz para determinantes (pt) Формула Лейбница для определителей (ru) Формула Лейбніца для визначників (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Leibniz formula for determinants yago-res:Leibniz formula for determinants wikidata:Leibniz formula for determinants http://bs.dbpedia.org/resource/Leibnizova_formula_za_determinante dbpedia-es:Leibniz formula for determinants dbpedia-fa:Leibniz formula for determinants dbpedia-he:Leibniz formula for determinants dbpedia-ja:Leibniz formula for determinants dbpedia-pt:Leibniz formula for determinants dbpedia-ru:Leibniz formula for determinants dbpedia-uk:Leibniz formula for determinants https://global.dbpedia.org/id/4jHUp |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Leibniz_formula_for_determinants?oldid=1115953724&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Leibniz_formula_for_determinants |
| is dbo:notableIdea of | dbr:Gottfried_Wilhelm_Leibniz |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Leibniz_formula_(determinant) |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Determinant dbr:Antisymmetrizer dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Eigenvalues_and_eigenvectors dbr:Gaussian_elimination dbr:Gottfried_Wilhelm_Leibniz dbr:Liouville's_formula dbr:Polynomial_identity_ring dbr:Rule_of_Sarrus dbr:Square_matrix dbr:Bareiss_algorithm dbr:Abel's_identity dbr:Laplace_expansion dbr:List_of_things_named_after_Gottfried_Leibniz dbr:Leibniz_formula_(determinant) |
| is dbp:notableIdeas of | dbr:Gottfried_Wilhelm_Leibniz |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Leibniz_formula_for_determinants |