Linearly disjoint (original) (raw)
En mathématiques, deux sous-extensions d'une extension de corps sont dites linéairement disjointes lorsqu'elles sont linéairement indépendantes en un certain sens. Cela permet de déduire des propriétés sur leur compositum ou leur produit tensoriel.
| Property | Value |
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| dbo:abstract | In der abstrakten Algebra heißen zwei Zwischenkörper und einer Körpererweiterung linear disjunkt, wenn jede Menge von Elementen von , die über linear unabhängig ist, auch über linear unabhängig ist. Eine äquivalente Charakterisierung lautet: Die Abbildung ist injektiv (zur Notation siehe Tensorprodukt). An dieser Beschreibung sieht man auch sofort, dass lineare Disjunktheit eine symmetrische Eigenschaft von und ist. Der Schnitt linear disjunkter Teilerweiterungen ist stets der Grundkörper , d. h. Die Umkehrung gilt nicht allgemein, jedoch zumindest dann, wenn eine der beiden Erweiterungen und endlich und galoissch ist. In der Galoistheorie lassen sich bestimmte Aussagen verschärfen, wenn man die lineare Disjunktheit der Zwischenkörper voraussetzt. Zum Beispiel ist die Galoisgruppe G(MN/K) des Kompositums MN der linear disjunkten Zwischenkörper M, N isomorph zum Produkt der Galoisgruppen G(M/K), G(N/K) von M und N. Lässt man die lineare Disjunktheit weg, erhält man nur die Isomorphie von G(MN/K) zu einer Untergruppe des Produkts G(M/K) × G(N/K). (de) In mathematics, algebras A, B over a field k inside some field extension of k are said to be linearly disjoint over k if the following equivalent conditions are met: * (i) The map induced by is injective. * (ii) Any k-basis of A remains linearly independent over B. * (iii) If are k-bases for A, B, then the products are linearly independent over k. Note that, since every subalgebra of is a domain, (i) implies is a domain (in particular reduced). Conversely if A and B are fields and either A or B is an algebraic extension of k and is a domain then it is a field and A and B are linearly disjoint. However, there are examples where is a domain but A and B are not linearly disjoint: for example, A = B = k(t), the field of rational functions over k. One also has: A, B are linearly disjoint over k if and only if subfields of generated by , resp. are linearly disjoint over k. (cf. Tensor product of fields) Suppose A, B are linearly disjoint over k. If , are subalgebras, then and are linearly disjoint over k. Conversely, if any finitely generated subalgebras of algebras A, B are linearly disjoint, then A, B are linearly disjoint (since the condition involves only finite sets of elements.) (en) En mathématiques, deux sous-extensions d'une extension de corps sont dites linéairement disjointes lorsqu'elles sont linéairement indépendantes en un certain sens. Cela permet de déduire des propriétés sur leur compositum ou leur produit tensoriel. (fr) 数学において、体 k のある拡大体 （例えば）の中での k 上の代数 A, B は次の同値な条件が成り立つときに k 上線型無関連 (linearly disjoint over k) と言われる： * (i) から誘導される写像 は単射である。 * (ii) A の任意の k-基底は B 上線型独立なままである。 * (iii) が A, B の k-基底であれば、積 は k 上線型独立である。 のすべての部分代数は整域であるから、(i) ならば は整域（特に被約）であることに注意する。 また次が成り立つ： A, B が k 上線型無関連であることと によってそれぞれ生成される の部分体が k 上線型無関連であることは同値である。（cf. 体のテンソル積） A, B が k 上線型無関連とする。, が部分代数であれば、 と は k 上線型無関連である。逆に、代数 A, B の任意の有限生成部分代数が線型無関連であれば、A, B は線型無関連である（なぜならば条件は元の有限集合しか含まないからである）。 (ja) |
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