Field extension (original) (raw)
في الجبر التجريدي، امتدادات الحقول (بالإنجليزية: Field extension) هي الموضوع الأساسي في نظرية الحقول. الفكرة العامة وراء ذلك هي الابتداء بحقل معين ما، ثم إنشاء حقل آخر أوسع منه، يحتوي على الحقل الأصلي ويحقق خصائص إضافية. على سبيل المثال، Q(√2) = {a + b√2 | a, b ∈ Q} هو أصغر امتداد لمجموعة الأعداد الجذرية Q، والذي يحتوي على جميع الحلول الحقيقية للمعادلة x2 = 2. امتدادات الحقول أساسية في نظرية الأعداد الجبرية وفي دراسة أصفار الدوال الحدودية من خلال نظرية غالوا.تُستعملن بشكل واسع في الهندسة الجبرية.
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| dbo:abstract | في الجبر التجريدي، امتدادات الحقول (بالإنجليزية: Field extension) هي الموضوع الأساسي في نظرية الحقول. الفكرة العامة وراء ذلك هي الابتداء بحقل معين ما، ثم إنشاء حقل آخر أوسع منه، يحتوي على الحقل الأصلي ويحقق خصائص إضافية. على سبيل المثال، Q(√2) = {a + b√2 | a, b ∈ Q} هو أصغر امتداد لمجموعة الأعداد الجذرية Q، والذي يحتوي على جميع الحلول الحقيقية للمعادلة x2 = 2. امتدادات الحقول أساسية في نظرية الأعداد الجبرية وفي دراسة أصفار الدوال الحدودية من خلال نظرية غالوا.تُستعملن بشكل واسع في الهندسة الجبرية. (ar) En àlgebra, les extensions de cos són el problema fonamental de la teoria de cossos. Un cos és un conjunt en el qual les operacions suma i producte estan definides i "funcionen bé". Un dels motius de construir una extensió d'un cos és el de cercar un conjunt més gran en el qual les operacions suma i producte seguisquen funcionant bé i a més es puguen resoldre equacions polinòmiques que no es poden resoldre en el cos original. (ca) Nadtěleso neboli tělesové rozšíření je pojem z oboru abstraktní algebry, kde je studován zejména v teorii těles. Pro dané těleso se jeho nadtělesy rozumí taková tělesa, které jej obsahují. Konstrukce tělesových rozšíření je jedním ze standardních nástrojů oboru, vznikají takto například podílová nadtělesa, kořenová nadtělesa nebo rozkladová nadtělesa. (cs) In der abstrakten Algebra bezeichnet man als Körpererweiterung ein Paar und , geschrieben als oder , seltener als oder , wobei ein Unterkörper eines Oberkörpers ist, also eine Teilmenge , die 0 und 1 enthält und mit den auf eingeschränkten Verknüpfungen selbst ein Körper ist. Zum Beispiel ist der Körper der komplexen Zahlen ein Oberkörper des Körpers der reellen Zahlen und daher eine Körpererweiterung. (de) In mathematics, particularly in algebra, a field extension is a pair of fields such that the operations of E are those of F restricted to E. In this case, F is an extension field of E and E is a subfield of F. For example, under the usual notions of addition and multiplication, the complex numbers are an extension field of the real numbers; the real numbers are a subfield of the complex numbers. Field extensions are fundamental in algebraic number theory, and in the study of polynomial roots through Galois theory, and are widely used in algebraic geometry. (en) En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une extension d'un corps commutatif K est un corps L qui contient K comme sous-corps. Par exemple, le corps ℂ des nombres complexes est une extension du corps ℝ des nombres réels, lequel est lui-même une extension du corps ℚ des nombres rationnels. On note parfois L/K pour indiquer que L est une extension de K. (fr) En Álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas. (es) Dalam matematika, khususnya dalam aljabar, ekstensi bidang adalah sepasang bidang sedemikian rupa sehingga operasi E adalah operasi F hingga E . Pada kasus ini, F adalah 'bidang ekstensi' dari E dan E adalah subbidang dari F . Misalnya, di bawah pengertian umum penambahan dan perkalian, bilangan kompleks adalah bidang ekstensi dari bilangan riil; bilangan real adalah subbidang dari bilangan kompleks. Perluasan bidang sangat penting dalam teori bilangan aljabar, dan dalam studi hingga teori Galois, dan banyak digunakan dalam geometri aljabar. (in) 체론에서 체의 확대(體의 擴大, 영어: field extension)는 주어진 체에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다. (ko) In teoria dei campi, una branca della matematica, grossa importanza ha lo studio di coppie di campi contenuti l'uno nell'altro. Una tale coppia prende il nome di estensione di campi. (it) In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een lichaamsuitbreiding (Nederlands) of velduitbreiding (Belgisch) van een lichaam / veld , in het vervolg kort uitbreiding van genoemd, ieder lichaam/veld waarvan een (strikt) deellichaam / deelveld is. Een uitbreiding van het lichaam/veld wordt verkregen door aan een of meer nieuwe elementen toe te voegen. Men noteert de uitbreiding als , of ook wel als , of .Als uit ontstaat door daar de elementen aan toe te voegen, schrijft men voor de uitbreiding . Zo vormen de complexe getallen een uitbreiding van de reële getallen door daaraan als nieuw element de imaginaire eenheid toe te voegen. In heeft de vergelijking geen oplossingen. Voegt men echter een nieuw element toe, de imaginaire eenheid , die is gedefinieerd als een oplossing van deze vergelijking, en voegt men vervolgens ook alle elementen toe die noodzakelijk zijn om een lichaam/veld te vormen, dan verkrijgt men het lichaam/veld van de complexe getallen. Een gevolg van de hoofdstelling van de algebra is dat alle oplossingen van een algebraïsche vergelijking in liggen. (nl) 抽象代数学のとくに体論において体の拡大（たいのかくだい、英: field extension）は、体の構造や性質を記述する基本的な道具立ての一つである。 体の拡大の理論において、通常は非可換な体を含む場合を扱わない（そのようなものは代数的数論に近い非可換環論あるいは多元環論の範疇に属す）。ただし、非可換体（あるいはもっと一般の環）の部分集合が、非可換体の演算をその部分集合へ制限して得られる演算により、その非可換体を上にある体として（可換な）体構造をもつとき、元の非可換体の（可換）部分体と呼び、元の非可換体を（非可換）拡大体と呼ぶことがある。 以下本項では特に断りの無い限り、体として可換体のみを扱い、単に体と呼称する。 (ja) Em álgebra abstrata, as extensões de corpos são o principal objeto de estudo da teoria dos corpos. A ideia geral é tomar um corpo como base e construir, de alguma forma, um corpo maior que contém o corpo base e que satisfaz propriedades adicionais. Por exemplo, o conjunto Q(√2) = {a + b√2 | a, b ∈ Q} é a menor extensão de Q que inclui todas as soluções reais da equação x2 = 2. (pt) Rozszerzenie ciała – większe (w sensie inkluzji) ciało zawierające dane ciało. Na przykład ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych; ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciał liczb rzeczywistych (więc także wymiernych). Rozszerzenia ciał są centralnym pojęciem teorii Galois. Wyróżnia się wiele rodzajów rozszerzeń ciał ze względu na ich własności. Każde rozszerzenie ciała oznaczane zwyczajowo lub , jest przestrzenią liniową nad Wymiar tej przestrzeni oznacza się przez i nazywa stopniem rozszerzenia (pl) Розширення поля — поле для якого поле є підполем. Позначається . (uk) En kroppsutvidgning är inom matematik en kropp som innehåller en annan kropp. Ofta utgår man från en speciell kropp och utökar den med fler element till en större kropp, ett förfarande som exempelvis används vid konstruktion av . Kroppsutvidgningar kan generaliseras till . (sv) 域扩张（英語：Field extensions）是数学分支抽象代数之域论中的主要研究对象，基本想法是从一个基域开始以某种方式构造包含它的“更大”的域。域扩张可以推广为。 (zh) Расшире́ние по́ля (реже употребляется термин надполе) — поле , содержащее данное поле в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением. (ru) |
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(ca) Nadtěleso neboli tělesové rozšíření je pojem z oboru abstraktní algebry, kde je studován zejména v teorii těles. Pro dané těleso se jeho nadtělesy rozumí taková tělesa, které jej obsahují. Konstrukce tělesových rozšíření je jedním ze standardních nástrojů oboru, vznikají takto například podílová nadtělesa, kořenová nadtělesa nebo rozkladová nadtělesa. (cs) In der abstrakten Algebra bezeichnet man als Körpererweiterung ein Paar und , geschrieben als oder , seltener als oder , wobei ein Unterkörper eines Oberkörpers ist, also eine Teilmenge , die 0 und 1 enthält und mit den auf eingeschränkten Verknüpfungen selbst ein Körper ist. Zum Beispiel ist der Körper der komplexen Zahlen ein Oberkörper des Körpers der reellen Zahlen und daher eine Körpererweiterung. (de) In mathematics, particularly in algebra, a field extension is a pair of fields such that the operations of E are those of F restricted to E. In this case, F is an extension field of E and E is a subfield of F. For example, under the usual notions of addition and multiplication, the complex numbers are an extension field of the real numbers; the real numbers are a subfield of the complex numbers. Field extensions are fundamental in algebraic number theory, and in the study of polynomial roots through Galois theory, and are widely used in algebraic geometry. (en) En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une extension d'un corps commutatif K est un corps L qui contient K comme sous-corps. Par exemple, le corps ℂ des nombres complexes est une extension du corps ℝ des nombres réels, lequel est lui-même une extension du corps ℚ des nombres rationnels. On note parfois L/K pour indiquer que L est une extension de K. (fr) En Álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas. (es) Dalam matematika, khususnya dalam aljabar, ekstensi bidang adalah sepasang bidang sedemikian rupa sehingga operasi E adalah operasi F hingga E . Pada kasus ini, F adalah 'bidang ekstensi' dari E dan E adalah subbidang dari F . Misalnya, di bawah pengertian umum penambahan dan perkalian, bilangan kompleks adalah bidang ekstensi dari bilangan riil; bilangan real adalah subbidang dari bilangan kompleks. Perluasan bidang sangat penting dalam teori bilangan aljabar, dan dalam studi hingga teori Galois, dan banyak digunakan dalam geometri aljabar. (in) 체론에서 체의 확대(體의 擴大, 영어: field extension)는 주어진 체에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다. (ko) In teoria dei campi, una branca della matematica, grossa importanza ha lo studio di coppie di campi contenuti l'uno nell'altro. Una tale coppia prende il nome di estensione di campi. (it) 抽象代数学のとくに体論において体の拡大（たいのかくだい、英: field extension）は、体の構造や性質を記述する基本的な道具立ての一つである。 体の拡大の理論において、通常は非可換な体を含む場合を扱わない（そのようなものは代数的数論に近い非可換環論あるいは多元環論の範疇に属す）。ただし、非可換体（あるいはもっと一般の環）の部分集合が、非可換体の演算をその部分集合へ制限して得られる演算により、その非可換体を上にある体として（可換な）体構造をもつとき、元の非可換体の（可換）部分体と呼び、元の非可換体を（非可換）拡大体と呼ぶことがある。 以下本項では特に断りの無い限り、体として可換体のみを扱い、単に体と呼称する。 (ja) Em álgebra abstrata, as extensões de corpos são o principal objeto de estudo da teoria dos corpos. A ideia geral é tomar um corpo como base e construir, de alguma forma, um corpo maior que contém o corpo base e que satisfaz propriedades adicionais. Por exemplo, o conjunto Q(√2) = {a + b√2 | a, b ∈ Q} é a menor extensão de Q que inclui todas as soluções reais da equação x2 = 2. (pt) Rozszerzenie ciała – większe (w sensie inkluzji) ciało zawierające dane ciało. Na przykład ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych; ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciał liczb rzeczywistych (więc także wymiernych). Rozszerzenia ciał są centralnym pojęciem teorii Galois. Wyróżnia się wiele rodzajów rozszerzeń ciał ze względu na ich własności. Każde rozszerzenie ciała oznaczane zwyczajowo lub , jest przestrzenią liniową nad Wymiar tej przestrzeni oznacza się przez i nazywa stopniem rozszerzenia (pl) Розширення поля — поле для якого поле є підполем. Позначається . (uk) En kroppsutvidgning är inom matematik en kropp som innehåller en annan kropp. Ofta utgår man från en speciell kropp och utökar den med fler element till en större kropp, ett förfarande som exempelvis används vid konstruktion av . Kroppsutvidgningar kan generaliseras till . (sv) 域扩张（英語：Field extensions）是数学分支抽象代数之域论中的主要研究对象，基本想法是从一个基域开始以某种方式构造包含它的“更大”的域。域扩张可以推广为。 (zh) Расшире́ние по́ля (реже употребляется термин надполе) — поле , содержащее данное поле в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением. (ru) In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een lichaamsuitbreiding (Nederlands) of velduitbreiding (Belgisch) van een lichaam / veld , in het vervolg kort uitbreiding van genoemd, ieder lichaam/veld waarvan een (strikt) deellichaam / deelveld is. Een uitbreiding van het lichaam/veld wordt verkregen door aan een of meer nieuwe elementen toe te voegen. Men noteert de uitbreiding als , of ook wel als , of .Als uit ontstaat door daar de elementen aan toe te voegen, schrijft men voor de uitbreiding . (nl) |
| rdfs:label | امتداد الحقول (ar) Extensió de cossos (ca) Nadtěleso (cs) Körpererweiterung (de) Extensión de cuerpos (es) Ekstensi bidang (in) Field extension (en) Extension de corps (fr) Estensione di campi (it) 体の拡大 (ja) 체의 확대 (ko) Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be) (nl) Rozszerzenie ciała (pl) Расширение поля (ru) Extensão de corpo (pt) Kroppsutvidgning (sv) 域扩张 (zh) Розширення поля (uk) | |
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