Linearly ordered group (original) (raw)
In der Gruppentheorie, einer Teildisziplin der Mathematik, ist eine angeordnete Gruppe (engl. left-orderable group) eine Gruppe zusammen mit einer totalen Ordnung „“, die mit der durch die Multiplikation gegebenen Linkstranslation verträglich ist. Bekannte Beispiele sind die Gruppen der ganzen und reellen Zahlen.
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| dbo:abstract | In der Gruppentheorie, einer Teildisziplin der Mathematik, ist eine angeordnete Gruppe (engl. left-orderable group) eine Gruppe zusammen mit einer totalen Ordnung „“, die mit der durch die Multiplikation gegebenen Linkstranslation verträglich ist. Bekannte Beispiele sind die Gruppen der ganzen und reellen Zahlen. (de) En matemática, un grupo se dice ordenable (a veces se le llama ordenable a izquierda) si admite un orden total invariante a izquierda, es decir, un orden total tal que implica para todos los elementos del grupo. Cuando el grupo admite un orden que es invariante tanto a izquierda como a derecha entonces decimos que es biordenable. (es) In mathematics, specifically abstract algebra, a linearly ordered or totally ordered group is a group G equipped with a total order "≤" that is translation-invariant. This may have different meanings. We say that (G, ≤) is a: * left-ordered group if ≤ is left-invariant, that is a ≤ b implies ca ≤ cb for all a, b, c in G, * right-ordered group if ≤ is right-invariant, that is a ≤ b implies ac ≤ bc for all a, b, c in G, * bi-ordered group if ≤ is bi-invariant, that is it is both left- and right-invariant. A group G is said to be left-orderable (or right-orderable, or bi-orderable) if there exists a left- (or right-, or bi-) invariant order on G. A simple necessary condition for a group to be left-orderable is to have no elements of finite order; however this is not a sufficient condition. It is equivalent for a group to be left- or right-orderable; however there exist left-orderable groups which are not bi-orderable. (en) 抽象代数学における線型順序群 (linearly ordered group) または全順序群（ぜんじゅんじょぐん、英: totally ordered group）は、群 G と全順序 "≤" との組 (G, ≤) で、その順序 ≤ が(平行) 移動不変 (translation-invariant) となるものを言う。移動作用の別に従って、移動不変の概念も異なるものを考え得る。すなわち G の演算を加法的に記すものとするとき、a, b, c を G の元として、G が * 左順序群であるとは、a ≤ b ならば c + a ≤ c + b となるときにいう; * 右順序群であるとは、a ≤ b ならば a + c ≤ b + c となるときにいう; * 両側順序群であるとは、左順序群かつ右順序群となるときに言う。 通常の数に対するのと同様に、順序群における元 c が正であるとは 0 ≤ c かつ c ≠ 0（すなわち、c > 0）となることを言う。ただし、ここでの "0" は群の単位元を意味する（実数の 0 と似ている必要はまったくない）。一つの順序群において正元全体の成す集合をしばしば G+ のように書く。 全順序群 G の任意の元 a は a ∈ G+ または -a ∈ G+ または a = 0 の三者択一に従う。全順序群 G が自明群でないならば、G+ は無限集合であり、したがって非自明な任意の全順序群は無限群である。 全順序群 G の元 a に対し、a の絶対値 |a |
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