Matrix equivalence (original) (raw)
Die Äquivalenz im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der -Matrizen. Zwei Matrizen und sind per Definition äquivalent, wenn es eine lineare Abbildung gibt und es Basen von und von gibt, so dass und gilt, d. h. ist eine Darstellung von bezüglich der Basen von und von , und ist eine Darstellung von bezüglich der Basen von und von .
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| dbo:abstract | Die Äquivalenz im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der -Matrizen. Zwei Matrizen und sind per Definition äquivalent, wenn es eine lineare Abbildung gibt und es Basen von und von gibt, so dass und gilt, d. h. ist eine Darstellung von bezüglich der Basen von und von , und ist eine Darstellung von bezüglich der Basen von und von . (de) En mathématiques, deux matrices A et B de même format (m,n) sont dites équivalentes si et seulement s'il existe deux matrices inversibles P et Q (de formats respectifs (n,n) et (m,m)) telles que . Il s'agit d'une relation d'équivalence sur chaque ensemble de matrices d'une taille donnée. Deux matrices A et B sont équivalentes si et seulement si elles peuvent représenter la même application linéaire par rapport à deux couples (un pour A et un pour B) de bases (une base de V et une base de W) bien choisis. On pourra alors trouver des matrices P et Q qui établissent l'équivalence de A et B, en prenant P égale à la matrice de passage de la base de V utilisée pour A à la base de V utilisée pour B, et Q égale à la matrice de passage de la base de W utilisée pour A à la base de W utilisée pour B. C'est pour accommoder ces choix que c'est l'inverse de Q qui figure dans la définition ci-dessus. Théorème — Deux matrices de même taille sont équivalentes si, et seulement si, elles ont même rang. Il ne faut pas confondre la notion de matrices équivalentes avec celle de matrices semblables. Deux matrices (nécessairement carrées) sont semblables si elles peuvent représenter la même application linéaire par rapport à deux bases de V bien choisies, et non plus deux couples de bases ; la différence avec la notion d'équivalence est qu'ici on choisit, pour chacune des deux matrices, la base d'arrivée égale à celle de départ. Ainsi, tandis que deux matrices semblables sont équivalentes, la réciproque est loin d'être vraie. En effet, deux matrices carrées dont les polynômes caractéristiques sont distincts ne peuvent pas être semblables, mais elles seront équivalentes dès qu'elles ont le même rang (par exemple si elles sont inversibles toutes les deux). (fr) In linear algebra, two rectangular m-by-n matrices A and B are called equivalent if for some invertible n-by-n matrix P and some invertible m-by-m matrix Q. Equivalent matrices represent the same linear transformation V → W under two different choices of a pair of bases of V and W, with P and Q being the change of basis matrices in V and W respectively. The notion of equivalence should not be confused with that of similarity, which is only defined for square matrices, and is much more restrictive (similar matrices are certainly equivalent, but equivalent square matrices need not be similar). That notion corresponds to matrices representing the same endomorphism V → V under two different choices of a single basis of V, used both for initial vectors and their images. (en) Binnen de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, heten de -matrices en equivalent als er een inverteerbare -matrix en een inverteerbare -matrix bestaan, zodanig dat Equivalente matrices kunnen gezien worden als matrices van dezelfde lineaire afbeelding, maar ten opzichte van verschillende bases. Dat kan ingezien worden door de keuze van bases en van vectoren in en en van vectoren in zodanig dat de matrices en basistransformaties zijn, van de overgang van op en van de overgang van op Daarin zijn de betrokken coördinatiseringen. Dan is dus een lineaire afbeelding die met betrekking tot de verschillende bases wordt voorgesteld door zowel als door (nl) In matematica, e più precisamente in algebra lineare, due matrici e sono SD-equivalenti quando esistono due matrici invertibili e tali che: La sigla SD sta per equivalenza sinistra-destra. La SD-equivalenza è una relazione di equivalenza, e induce quindi una partizione dell'insieme di tutte le matrici a valori in un campo . Si tratta di una relazione di equivalenza più semplice della più usata similitudine: due matrici risultano essere SD-equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango. (it) 在线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。假设有两个 的矩阵，记作A和B。它们之间等价当且仅当存在两个可逆的方块矩阵： 的矩阵P以及 的矩阵Q，使得 这时称两个矩阵A和B是等价矩阵。矩阵之间的等价和矩阵的相似关系有所不同。如果两个矩阵A和B相似，那么它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵P，使得 由于其中的P-1也是可逆的矩阵，所以A和B相似必然推出它们等价。但是，等价的矩阵不一定是相似的。首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵，而等价矩阵则没有这个要求。其次，即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵， 中用到的Q也不一定是P的逆矩阵。 (zh) |
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| rdfs:label | Äquivalenz (Matrix) (de) Equivalenza sinistra-destra tra matrici (it) Matrices équivalentes (fr) Matrix equivalence (en) Equivalente matrices (nl) 等价矩阵 (zh) |
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