Modular graph (original) (raw)
In graph theory, a branch of mathematics, the modular graphs are undirected graphs in which every three vertices x, y, and z have at least one median vertex m(x, y, z) that belongs to shortest paths between each pair of x, y, and z.Their name comes from the fact that a finite lattice is a modular lattice if and only if its Hasse diagram is a modular graph.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In graph theory, a branch of mathematics, the modular graphs are undirected graphs in which every three vertices x, y, and z have at least one median vertex m(x, y, z) that belongs to shortest paths between each pair of x, y, and z.Their name comes from the fact that a finite lattice is a modular lattice if and only if its Hasse diagram is a modular graph. It is not possible for a modular graph to contain a cycle of odd length. For, if C is a shortest odd cycle in a graph, x is a vertex of C, and yz is the edge of C farthest from x, there could be no median m(x, y, z), for the only vertices on the shortest path yz are y and z themselves, but neither can belong to a shortest path from x to the other without shortcutting C and creating a shorter odd cycle. Therefore, every modular graph is a bipartite graph. The modular graphs contain as a special case the median graphs, in which every triple of vertices has a unique median; median graphs are related to distributive lattices in the same way that modular graphs are related to modular lattices. However, the modular graphs also include other graphs such as the complete bipartite graphs where the medians are not unique: when the three vertices x, y, and z all belong to one side of the bipartition of a complete bipartite graph, every vertex on the other side is a median. Every chordal bipartite graph (a class of graphs that includes the complete bipartite graphs and the bipartite distance-hereditary graphs) is modular. (en) Модулярные графы — это неориентированные графы, в которых любые три вершины x, y и z имеют по меньшей мере одну медианную вершину m(x,y,z), которая принадлежит кратчайшим путям между каждой парой x, y и z.Название происходит из факта, что конечная решётка является модулярной тогда и только тогда, когда её диаграмма Хассе является модулярным графом. Модулярные графы не могут содержать циклы нечётной длины. Если таковой есть и C является самым коротким таким циклом в графе, x является вершиной в C, а пара вершин yz образуют наиболее удалённое от x ребро цикла, то медианы m(x,y,z) не существует — кратчайшим путём между вершинами y и z будет ребро yz, но ни одна из этих вершин не может лежать на кратчайшем пути из другой в x так, чтобы не «срезать путь» по диагонали цикла. Но если у цикла нечётной длины есть диагональ, то она разбивает его на два цикла меньшей длины, одна из которых нечётная, что противоречит тому, что C — самый короткий цикл нечётной длины. Поэтому любой модулярный граф является двудольным графом. Частным случаем модулярных графов являются медианные графы, в которых каждая тройка вершин имеет единственную медиану. Медианные графы связаны с в том же смысле, в котором модулярные графы связаны с модулярными решётками. Однако не все модулярные графы являются медианными — в полных двудольных графах медианы не уникальны, так как для трёх вершин x, y и z из одной доли полного двудольного графа любая вершина другой доли является медианой. Любой хордальный двудольный граф (класс графов, который включает полные двудольные графы и двудольные дистанционно-наследуемые графы) является модулярным. (ru) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/2d_modular_lattice.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 51807881 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 2666 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1077940998 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbc:Graph_families dbr:Undirected_graph dbr:Complete_bipartite_graph dbr:Median_graph dbr:Modular_lattice dbr:Chordal_bipartite_graph dbr:Shortest_path dbr:Distributive_lattice dbr:Hasse_diagram dbr:Lattice_(order) dbr:Graph_theory dbr:Bipartite_graph dbc:Bipartite_graphs dbr:Distance-hereditary_graph dbr:Vertex_(graph_theory) dbr:File:2d_modular_lattice.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Distinguish dbt:Math dbt:Mvar dbt:Reflist |
| dct:subject | dbc:Graph_families dbc:Bipartite_graphs |
| rdf:type | owl:Thing |
| rdfs:comment | In graph theory, a branch of mathematics, the modular graphs are undirected graphs in which every three vertices x, y, and z have at least one median vertex m(x, y, z) that belongs to shortest paths between each pair of x, y, and z.Their name comes from the fact that a finite lattice is a modular lattice if and only if its Hasse diagram is a modular graph. (en) Модулярные графы — это неориентированные графы, в которых любые три вершины x, y и z имеют по меньшей мере одну медианную вершину m(x,y,z), которая принадлежит кратчайшим путям между каждой парой x, y и z.Название происходит из факта, что конечная решётка является модулярной тогда и только тогда, когда её диаграмма Хассе является модулярным графом. (ru) |
| rdfs:label | Modular graph (en) Модулярный граф (ru) |
| owl:differentFrom | dbr:Modularity_(networks) dbr:Modular_decomposition |
| owl:sameAs | yago-res:Modular graph wikidata:Modular graph dbpedia-ru:Modular graph https://global.dbpedia.org/id/2eWBs |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Modular_graph?oldid=1077940998&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/2d_modular_lattice.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Modular_graph |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Complete_bipartite_graph dbr:Median_graph dbr:Glossary_of_graph_theory dbr:Modular_lattice dbr:Chordal_bipartite_graph dbr:Distance-hereditary_graph dbr:Young–Fibonacci_lattice |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Modular_graph |
