Modular lattice (original) (raw)
Modulární svazy jsou typy svazů, které nemusejí být distributivní, ale splňují obecnější podmínku tzv. modularity.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Modulární svazy jsou typy svazů, které nemusejí být distributivní, ale splňují obecnější podmínku tzv. modularity. (cs) Ein modularer Verband im Sinne der Ordnungstheorie ist ein Verband, der die folgende selbst-duale Bedingung erfüllt (Modularitätsgesetz): impliziert Modulare Verbände treten in der Algebra und vielen anderen Bereichen der Mathematik auf. So bilden beispielsweise die Untervektorräume eines Vektorraums (und allgemeiner die Untermoduln eines Moduls über einem Ring) einen modularen Verband. Jeder distributive Verband ist modular. In einem nichtmodularen Verband, kann es dennoch Elemente geben, die das Modularitätsgesetz zusammen mit beliebigen Elementen und erfüllen (unter der Bedingung ). Ein solches Element heißt modulares Element. Noch allgemeiner kann man Paare von Elementen betrachten, die das Modularitätsgesetz für alle Elemente erfüllen. Ein solches Paar heißt modulares Paar, und es gibt mehrere mit der Semimodularität zusammenhängende Verallgemeinerungen von Modularität, die auf diesen Begriff aufbauen. (de) Dans le cadre mathématique de la théorie des ordres, un treillis modulaire est un treillis qui vérifie la condition auto-duale suivante Loi de modularité : implique Les treillis modulaires apparaissent en algèbre et dans de nombreux autres domaines des mathématiques. Par exemple, les sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel, et plus généralement les sous-modules d'un module sur un anneau, forment un treillis modulaire. Les treillis modulaires sont parfois appelés treillis de Dedekind, d'après Richard Dedekind, qui a formulé la loi de modularité. (fr) In the branch of mathematics called order theory, a modular lattice is a lattice that satisfies the following self-dual condition, Modular lawa ≤ b implies a ∨ (x ∧ b) = (a ∨ x) ∧ b where x, a, b are arbitrary elements in the lattice, ≤ is the partial order, and ∨ and ∧ (called join and meet respectively) are the operations of the lattice. This phrasing emphasizes an interpretation in terms of projection onto the sublattice [a, b], a fact known as the diamond isomorphism theorem. An alternative but equivalent condition stated as an equation (see below) emphasizes that modular lattices form a variety in the sense of universal algebra. Modular lattices arise naturally in algebra and in many other areas of mathematics. In these scenarios, modularity is an abstraction of the 2nd Isomorphism Theorem. For example, the subspaces of a vector space (and more generally the submodules of a module over a ring) form a modular lattice. In a not necessarily modular lattice, there may still be elements b for which the modular law holds in connection with arbitrary elements x and a (for a ≤ b). Such an element is called a modular element. Even more generally, the modular law may hold for any a and a fixed pair (x, b). Such a pair is called a modular pair, and there are various generalizations of modularity related to this notion and to semimodularity. Modular lattices are sometimes called Dedekind lattices after Richard Dedekind, who discovered the modular identity in . (en) Un retículo modular en el sentido de la teoría del orden es un retículo que cumple la siguiente condición auto-dual (modularidad): implica que Los retículos modulares ocurren en álgebra y en numerosas otras áreas de las matemáticas. Así, por ejemplo, los subespacios de un espacio vectorial (y, más en general, los submódulos de un módulo sobre un anillo) forman un retículo modular. Todo retículo distributivo es modular. Sin embargo, aún en un retículo no modular pueden existir elementos b que cumplan con la condición de modularidad en relación con elementos arbitrarios a y x (siendo x ≤ b). Un elemento b tal se denomina elemento modular. En términos aún más generales, pueden considerarse pares (a, b) de elementos, que cumplan con la condición de modularidad con respecto a todo elemento x. Un par de este tipo se denomina par modular y sobre la base de esta noción existen varias generalizaciones del concepto de modularidad relacionadas con el de . (es) 순서론에서 모듈러 격자(영어: modular lattice)는 일종의 약한 결합 법칙을 만족시키는 격자이다. (ko) Модулярная решётка (дедекиндова решётка) — решётка, в которой каждая пара элементов модулярна, то есть справедлив закон модулярности — квазитождество: . Важнейший пример модулярной решётки — решётка подпространств векторного пространства; также модулярны решётка нормальных подгрупп группы, решётка идеалов кольца. Любая является модулярной, обратное неверно: (диамант) — пример модулярной решётки, которая не является дистрибутивной. Наименьшая немодулярная решётка — пятиэлементный , любая немодулярная решётка содержит его в качестве подрешётки. В модулярных решётках справедлива теорема об изоморфизмах интервалов: для любых двух элементов модулярной решётки и интервалы и изоморфны, прямое отображение: , обратное — . Немодулярная решётка может содержать элементы, удовлетворяющие закону модулярности. Элемент называется левомодулярным, если для любого элемента пара модулярна. Элемент называется правомодулярным, если для любого элемента пара модулярна. Закон модулярности и некоторые его следствия впервые установлены Рихардом Дедекиндом в 1894 году. (ru) Модулярна ґратка — ґратка, яка задовольняє наступний самодвоїстий закон: із слідує , де ≤ є відношення нестрогого порядку, ∨ та ∧ (бінарні операції об'єднання та перетину). Модулярні ґратки природно виникають в алгебрі та в багатьох інших галузях математики. Наприклад, підмножини векторного простору (модуль над кільцем) утворюють модулярні ґратки. Кожна дистрибутивна ґратка є модулярною. Не обов'язково в модулярній ґратці може бути елемент b, модульний закон виконується для довільного елемента a та x (≤ b). Такий елемент називається модулярним елементом. Загалом, модульний закон може існувати для фіксованої пари (a, b). Така пара називається модулярною парою. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/2d_modular_lattice.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://www.source-code.biz/lattice https://www.ams.org/notices/199711/comm-rota.pdf https://archive.org/details/semimodularlatti0000ster http://projecteuclid.org/DPubS%3Fverb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.hmj/1206139232&page=record |
| dbo:wikiPageID | 1089311 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 17737 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1121809563 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Module_(mathematics) dbr:Richard_Dedekind dbr:Vector_space dbr:Iwasawa_group dbr:Universal_algebra dbr:Isomorphism_theorem dbc:Lattice_theory dbr:Normal_subgroup dbr:Notices_of_the_American_Mathematical_Society dbr:Order_theory dbr:Module_over_a_ring dbr:Distributive_lattice dbr:Duality_(order_theory) dbr:Join_and_meet dbr:Lattice_(order) dbr:Lattice_of_subgroups dbr:Algebra dbr:Group_(mathematics) dbr:Associativity dbr:Abelian_group dbr:Modular_graph dbr:Ascending_chain_condition dbr:Variety_(universal_algebra) dbr:Lattice_theorem dbr:Semimodular_lattice dbr:Partial_order dbr:Young–Fibonacci_lattice dbr:Orthomodular_lattice dbr:Sublattice dbr:Second_isomorphism_theorem dbr:File:2d_modular_lattice.svg dbr:File:Centred_hexagon_lattice_D2.svg dbr:File:Free_modular_lattice_with_3_generators_(x,y,z).gif dbr:File:Smallest_nonmodular_lattice_2.svg |
| dbp:first | L. A. (en) T. S. (en) |
| dbp:id | m/m064460 (en) s/s084240 (en) |
| dbp:last | Fofanova (en) Skornyakov (en) |
| dbp:title | Modular lattice (en) Semi-modular lattice (en) |
| dbp:urlname | ModularLattice (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:= dbt:Citation dbt:Citation_needed dbt:Distinguish dbt:Harvtxt dbt:Math dbt:Mvar dbt:OEIS_el dbt:Rp dbt:Planetmath_reference |
| dct:subject | dbc:Lattice_theory |
| gold:hypernym | dbr:Lattice |
| rdf:type | owl:Thing dbo:ArchitecturalStructure |
| rdfs:comment | Modulární svazy jsou typy svazů, které nemusejí být distributivní, ale splňují obecnější podmínku tzv. modularity. (cs) Dans le cadre mathématique de la théorie des ordres, un treillis modulaire est un treillis qui vérifie la condition auto-duale suivante Loi de modularité : implique Les treillis modulaires apparaissent en algèbre et dans de nombreux autres domaines des mathématiques. Par exemple, les sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel, et plus généralement les sous-modules d'un module sur un anneau, forment un treillis modulaire. Les treillis modulaires sont parfois appelés treillis de Dedekind, d'après Richard Dedekind, qui a formulé la loi de modularité. (fr) 순서론에서 모듈러 격자(영어: modular lattice)는 일종의 약한 결합 법칙을 만족시키는 격자이다. (ko) Ein modularer Verband im Sinne der Ordnungstheorie ist ein Verband, der die folgende selbst-duale Bedingung erfüllt (Modularitätsgesetz): impliziert Modulare Verbände treten in der Algebra und vielen anderen Bereichen der Mathematik auf. So bilden beispielsweise die Untervektorräume eines Vektorraums (und allgemeiner die Untermoduln eines Moduls über einem Ring) einen modularen Verband. Jeder distributive Verband ist modular. (de) Un retículo modular en el sentido de la teoría del orden es un retículo que cumple la siguiente condición auto-dual (modularidad): implica que Los retículos modulares ocurren en álgebra y en numerosas otras áreas de las matemáticas. Así, por ejemplo, los subespacios de un espacio vectorial (y, más en general, los submódulos de un módulo sobre un anillo) forman un retículo modular. Todo retículo distributivo es modular. (es) In the branch of mathematics called order theory, a modular lattice is a lattice that satisfies the following self-dual condition, Modular lawa ≤ b implies a ∨ (x ∧ b) = (a ∨ x) ∧ b where x, a, b are arbitrary elements in the lattice, ≤ is the partial order, and ∨ and ∧ (called join and meet respectively) are the operations of the lattice. This phrasing emphasizes an interpretation in terms of projection onto the sublattice [a, b], a fact known as the diamond isomorphism theorem. An alternative but equivalent condition stated as an equation (see below) emphasizes that modular lattices form a variety in the sense of universal algebra. (en) Модулярная решётка (дедекиндова решётка) — решётка, в которой каждая пара элементов модулярна, то есть справедлив закон модулярности — квазитождество: . Важнейший пример модулярной решётки — решётка подпространств векторного пространства; также модулярны решётка нормальных подгрупп группы, решётка идеалов кольца. Любая является модулярной, обратное неверно: (диамант) — пример модулярной решётки, которая не является дистрибутивной. Наименьшая немодулярная решётка — пятиэлементный , любая немодулярная решётка содержит его в качестве подрешётки. (ru) Модулярна ґратка — ґратка, яка задовольняє наступний самодвоїстий закон: із слідує , де ≤ є відношення нестрогого порядку, ∨ та ∧ (бінарні операції об'єднання та перетину). Модулярні ґратки природно виникають в алгебрі та в багатьох інших галузях математики. Наприклад, підмножини векторного простору (модуль над кільцем) утворюють модулярні ґратки. Кожна дистрибутивна ґратка є модулярною. (uk) |
| rdfs:label | Modulární svaz (cs) Modularer Verband (de) Retículo modular (es) Treillis modulaire (fr) 모듈러 격자 (ko) Modular lattice (en) Модулярная решётка (ru) Модулярна ґратка (uk) |
| owl:differentFrom | dbr:Unimodular_lattice |
| owl:sameAs | freebase:Modular lattice wikidata:Modular lattice dbpedia-cs:Modular lattice dbpedia-de:Modular lattice dbpedia-es:Modular lattice dbpedia-fr:Modular lattice dbpedia-ko:Modular lattice dbpedia-ru:Modular lattice dbpedia-uk:Modular lattice https://global.dbpedia.org/id/YWrS |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Modular_lattice?oldid=1121809563&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/2d_modular_lattice.svg wiki-commons:Special:FilePath/Centred_hexagon_lattice_D2.svg wiki-commons:Special:FilePath/Free_modular_lattice_with_3_generators_(x,y,z).gif wiki-commons:Special:FilePath/Modular_pair.svg wiki-commons:Special:FilePath/Not_a_modular_pair.svg wiki-commons:Special:FilePath/Smallest_nonmodular_lattice_2.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Modular_lattice |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Modular_law dbr:Dedekind_lattice dbr:Diamond_isomorphism_theorem dbr:M-symmetric_lattice dbr:Modular_pair |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Projective_space dbr:List_of_first-order_theories dbr:Module dbr:Module_(mathematics) dbr:Supersolvable_arrangement dbr:John_von_Neumann dbr:Richard_Dedekind dbr:Dedekind–MacNeille_completion dbr:Introduction_to_Lattices_and_Order dbr:Iwasawa_group dbr:List_of_order_theory_topics dbr:Normal_subgroup dbr:Quotient_(universal_algebra) dbr:Modular_law dbr:Congruence_lattice_problem dbr:Continuous_geometry dbr:Correspondence_theorem dbr:Thomas_H._Brylawski dbr:Complemented_lattice dbr:Dedekind_lattice dbr:Ideal_(ring_theory) dbr:Map_of_lattices dbr:Distributive_lattice dbr:Lattice_of_subgroups dbr:Linear_subspace dbr:Subsumption_lattice dbr:Jordan_operator_algebra dbr:Product_of_group_subsets dbr:Tolerance_relation dbr:Zassenhaus_lemma dbr:Modular_graph dbr:Modular_subgroup dbr:Free_object dbr:Metric_lattice dbr:Diamond_isomorphism_theorem dbr:List_of_things_named_after_Richard_Dedekind dbr:N5 dbr:Semimodular_lattice dbr:M-symmetric_lattice dbr:Young–Fibonacci_lattice dbr:Outline_of_algebraic_structures dbr:Modular_pair |
| is owl:differentFrom of | dbr:Unimodular_lattice |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Modular_lattice |
