Hasse diagram (original) (raw)
في نظرية الترتيب، رسم هاس البياني (بالإنجليزية: Hasse diagram) هو نوع من البيانات المستعملة في الرياضيات لتمثيل مجموعة منتهية مرتبة جزئيا. سمي هذا الرسم هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني هيلموت هاس.
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| dbo:abstract | في نظرية الترتيب، رسم هاس البياني (بالإنجليزية: Hasse diagram) هو نوع من البيانات المستعملة في الرياضيات لتمثيل مجموعة منتهية مرتبة جزئيا. سمي هذا الرسم هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني هيلموت هاس. (ar) V matematické disciplíně teorie uspořádání se používá Hasseův diagram (pojmenovaný po Helmutu Hasseovi) k zobrazení konečné částečně uspořádané množiny. Konkrétně pro uspořádanou množinu (S,≤) reprezentujeme v Hasseově diagramu každý prvek množiny S jako vrchol grafu. Dva vrcholy se spojí čarou (hranou) vedenou zdola nahoru od x k y, jestliže x < y a neexistuje takové z, že x < z < y (zde je < binární relace získaná z ≤ odejmutím prvků (x,x) pro každé x). Říkáme také, že y pokrývá x nebo že y je bezprostřední předchůdce prvku x. Vrcholy grafu musí být umístěny tak, aby každá hrana spojovala právě dva vrcholy. (cs) En matemàtiques, un diagrama de Hasse és una representació gràfica simplificada d'un conjunt parcialment ordenat finit. Això s'aconsegueix eliminant informació redundant. Per a això es dibuixa una aresta ascendent entre dos elements només si un segueix a un altre sense haver altres elements intermedis. En un diagrama de Hasse s'elimina la necessitat de representar: * Cicles d'un element, ja que s'entén que una relació d'ordre parcial és reflexiva. * Arestes que es dedueixen de la de la relació. (ca) In der Mathematik ist ein Hasse-Diagramm (auch Ordnungs- oder einfach Liniendiagramm genannt) eine bestimmte graphische Darstellung endlicher halbgeordneter Mengen. Solche Diagramme werden nach dem Mathematiker Helmut Hasse benannt. Das Hasse-Diagramm für eine Halbordnung ergibt sich als Darstellung eines gerichteten Graphen, wobei die Elemente von die Knoten bilden. Zwei Knoten und werden durch eine Kante verbunden, wenn gilt und es keinen Knoten gibt mit . (Hierbei ist als und zu verstehen.) Die Einschränkung auf solche nennt man transitive Reduktion der Halbordnung. Die Richtung der Kante wird dadurch zum Ausdruck gebracht, dass sich der Knoten oberhalb von befindet. Solch eine Anordnung lässt sich erreichen, da das Hasse-Diagramm zyklenfrei ist. Schleifen bei Reflexivität werden weggelassen. Manchmal werden Hasse-Diagramme auch verwendet, um Striktordnungen (Ordnungsrelationen zweiter Art) darzustellen. (de) In order theory, a Hasse diagram (/ˈhæsə/; German: [ˈhasə]) is a type of mathematical diagram used to represent a finite partially ordered set, in the form of a drawing of its transitive reduction. Concretely, for a partially ordered set (S, ≤) one represents each element of S as a vertex in the plane and draws a line segment or curve that goes upward from x to y whenever y ≠ x and y covers x (that is, whenever x ≤ y and there is no z such that x ≤ z ≤ y).These curves may cross each other but must not touch any vertices other than their endpoints. Such a diagram, with labeled vertices, uniquely determines its partial order. The diagrams are named after Helmut Hasse (1898–1979); according to Garrett Birkhoff, they are so called because of the effective use Hasse made of them. However, Hasse was not the first to use these diagrams. One example that predates Hasse can be found in Henri Gustav Vogt. Although Hasse diagrams were originally devised as a technique for making drawings of partially ordered sets by hand, they have more recently been created automatically using graph drawing techniques. The phrase "Hasse diagram" may also refer to the transitive reduction as an abstract directed acyclic graph, independently of any drawing of that graph, but this usage is eschewed here. (en) En matemáticas, un diagrama de Hasse es una representación gráfica simplificada de un conjunto parcialmente ordenado finito. Esto se consigue eliminando información redundante. Para ello se dibuja una arista ascendente entre dos elementos solo si uno sigue a otro sin haber otros elementos intermedios. El diagrama está nombrado en honor del matemático alemán Helmut Hasse. En un diagrama de Hasse se elimina la necesidad de representar: * ciclos de un elemento, puesto que se entiende que una relación de orden parcial es reflexiva. * aristas que se deducen de la transitividad de la relación. (es) En mathématiques, le diagramme de Hasse, du nom du mathématicien allemand Helmut Hasse, est une représentation visuelle d'un ordre fini. Similaire à la représentation habituelle d’un graphe sur papier, il en facilite la compréhension. Dans un diagramme de Hasse : * Les éléments ordonnés sont représentés par des points. * La relation entre deux éléments est représentée par un segment entre deux points. * Si un élément x est ≤ à un autre élément y, alors le point représentant x est placé plus bas que celui pour y. Ainsi, les segments n'ont pas besoin d'être fléchés pour avoir leur orientation décrite. * Afin d'éviter de surcharger le schéma, les relations d’ordre possibles ne sont pas toutes représentées. Elles sont limitées à la réduction réflexive transitive : * Lorsque x < y, s'il existe z tel que x < z < y, alors aucun segment ne doit lier x à y. * Les boucles d’un élément vers lui-même ne sont pas représentées. * On veille autant que possible à ne pas croiser les segments. À noter qu'en cas d’ordre infini, on peut quand même utiliser le diagramme de Hasse et représenter une restriction finie de l’ordre. (fr) ハッセ図（ハッセず、英: Hasse diagram）は、数学における有限半順序集合を単純に図示する方法のひとつで、半順序のを描いたものである。具体的には有限半順序集合 (S, ≤) があるとき、S の個々の元を頂点とし、x < y で、かつ x < z < y となるような z が存在しない場合にのみ x から y に上向きの線（辺）を描く（ここで二項関係 < は全ての x について (x, x) という元を ≤ から除くことで得られる）。この場合、「 y は x をする」または「 y は x の immediate successor（直接の後続）である」という。さらに、各辺が両端の頂点以外を通らないように頂点を配置する必要がある。このような図（頂点にはラベルが付属するものとする）は半順序を一意に特定し、任意の有限な半順序では推移簡約が一意に定まる。ただし、図における元の配置の仕方は様々なものが考えられ、ひとつの順序集合に対して見た目の異なるハッセ図が多数存在することになる。 ハッセ図はドイツの数論学者ヘルムート・ハッセ（1898年–1979年）に因んで名付けられている。これはハッセが部分体や拡大体がなす半順序集合を図示するために効果的に活用したからである。しかし、ハッセが最初にこの図を使ったわけではなく、少なくとも では既にこの図が使われている。ハッセ図は半順序集合を手で図示する技法として生まれたが、最近ではグラフ描画技法を使って自動的に描くことができる。 「ハッセ図」という言葉は、個々のグラフの描画とは関係なく、抽象概念としての有向非循環グラフの推移簡約を指すこともある。ただし、本項目ではこの意味では使わない。 (ja) 하세 도형(Hasse圖形, 영어: Hasse diagram)은 부분 순서 집합의 원소들을 표현하기 위해 고안된 표기법으로, 각 원소의 순서 관계를 그래프로 표현한 것이다. 이 도형을 제안한 헬무트 하세의 이름을 따서 만들었으나, 그 이전인 19세기 말에도 같은 표기법을 썼던 기록이 있다. (ko) Diagram Hassego – graf skierowany przedstawiający częściowy porządek w zbiorze, w odpowiedni sposób przedstawiony graficznie. Niech będzie zbiorem z częściowym porządkiem Mówi się, że element zbioru nakrywa element jeżeli oraz nie istnieje w taki element że Diagram Hassego zbioru i danego na nim porządku przedstawia graf, którego wierzchołki reprezentują elementy zbioru i którego dwa wierzchołki i połączone są krawędzią (biegnącą z do ) wtedy i tylko wtedy, gdy nakrywa Na diagramie nie oznacza się kierunku krawędzi grafu; zamiast tego element nakrywający jest rysowany wyżej od elementów przezeń nakrywanych, czyli wszystkie krawędzie są skierowane w górę. (pl) Nella teoria degli ordini, un diagramma di Hasse è un modo per rappresentare graficamente un insieme finito parzialmente ordinato. Prende nome da Helmut Hasse (1898–1979). In sostanza, dato un insieme S come sopra, si rappresenta ogni membro di S come vertice e si traccia una linea che va da x a y se x < y e non esiste z tale che x < z < y. In questo caso si dice che y copre x o che y è un successore immediato di x. Inoltre è richiesto che i vertici siano posizionati in modo che ogni segmento incontri esattamente due vertici: i due estremi. Ogni diagramma di questo tipo (poiché i vertici sono etichettati) determina unicamente un ordinamento parziale ma esistono più diagrammi corrispondenti ad un dato ordine. (it) Een hasse-diagram is in de wiskunde een grafische voorstelling van een eindige verzameling met een partiële orde. Het diagram is genoemd naar de Duitse wiskundige Helmut Hasse (1898–1979). Een hasse-diagram van een partieel geordende verzameling is de graaf met de transitieve reductie van die verzameling, zonder de relatie van elementen met zichzelf aan te geven. In het hasse-diagram worden de elementen van de verzameling getekend als punten en de ordeningsrelatie weergegeven door twee elementen die elkaars directe opvolger en voorganger zijn, te verbinden door een lijn en de grootste van de twee hoger te tekenen dan de kleinste. Dus als en er is geen element tussen deze twee, zodat een directe voorganger is van , wordt hoger dan geplaatst en beide door een lijn verbonden. Op deze manier ontstaat een overzichtelijke voorstelling van de ordening. Zouden we alle vergelijkbare elementen verbinden, dan zou door de veelheid van lijnen vaak een onoverzichtelijke wirwar ontstaan. Voor willekeurige en geldt als er een route van naar is die steeds naar boven leidt (als is dit de triviale "route" via nul lijnen). Als er niet zo'n route is dan heeft het lager, even hoog of hoger liggen van ten opzichte van geen betekenis. Hasse-diagrammen lenen zich er goed voor een tralie weer te geven. Er volgen in totaal drie voorbeelden van een tralie, waarvan het hasse-diagram in een afbeelding wordt geïllustreerd, voor het derde voorbeeld drie mogelijkheden, met daar tussendoor enig commentaar. (nl) Em teoria da ordem, um ramo da matemática que estuda várias clases de relações binárias, um diagrama de Hasse (alemão: /ˈhasə/) é um tipo de diagrama matemático utilizado para representar um conjunto parcialmente ordenado finito, na forma de um grafo de sua redução transitiva. A redução transitiva de uma relação binária em um conjunto X é a relação mínima em X tal que o fecho transitivo de é o mesmo que o fecho transitivo de . Diagramas de Hasse foram assim denominados em referência a Helmut Hasse (1898–1979); de acordo com , eles são assim chamados por causa do uso efetivo que Hasse fez deles. Entretanto, Hasse não foi o primeiro a utilizar estes diagramas; eles apareceram, e.g., em . Embora os diagramas de Hasse tenham sido criados inicialmente para possibilitar o desenho à mão de conjuntos parcialmente ordenados, recentemente foram feitos automaticamente utilizando técnicas para desenho de grafos. A expressão "Diagrama de Hasse" pode também se referir à redução transitiva como um grafo orientado acíclico abstrato, independentemente de qualquer desenho do grafo, mas este uso é evitado aqui. (pt) Діаграма Гассе — в теорії порядку, діаграма частково впорядкованої множини, що зображає її транзитивне скорочення як орієнтований граф, де вершинами графу є елементи множини, а ребра графу йдуть вгору від меншого елемента до більшого. (uk) Inom är ett Hassediagram ett slags matematiskt diagram som används för att representera en ändlig partialordnad mängd ("pomängd") som ett nätverksdiagram över dess täckningsrelation. För en partiellt ordnad mängd (S, ≤) representeras varje element i S som ett hörn i planet och en kant sammanbinder hörnet x uppåt med alla hörn y som täcker x, det vill säga närhelst x < y och det inte finns något z sådant att x < z < y. Dessa kanter får korsa varandra men ej passera några andra hörn än sina respektive ändpunkter. Ett sådant diagram med betecknade hörn beskriver mängdens partiella ordning på ett unikt sätt. Hassediagram är uppkallade efter Helmut Hasse (1898–1979) enligt ) och de kallas så på grund av Hasses användning av dem. Det var dock inte Hasse som använde dem först, de förekommer exempelvis i ). Fastän Hassediagram ursprungligen designats för att rita grafer över pomängder för hand, har de på senare tid konstruerats automatiskt. (sv) Диаграмма Хáссе — вид диаграмм, используемый для представления конечного частично упорядоченного множества в виде рисунка его транзитивного сокращения. Конкретно, для частично упорядоченного множества диаграмма представляет каждый элемент как вершины на плоскости и отрезки или кривые, идущие вверх от элемента к элементу , если и не существует элемента , для которого .Эти кривые могут пересекаться, но не должны проходить через вершины, если только они не являются концами линии. Такая диаграмма с помеченными вершинами однозначно определяют частичный порядок. Впервые систематически такого рода визуализация описана Биркгофом в 1948 году, им же дано название в честь использовавшего подобные диаграммы Хельмута Хассе, однако такого рода рисунки встречаются и в более ранних трудах, например, в учебнике французского математика (нем. Henri Vogt) 1895 года издания. (ru) 哈斯圖（英語：Hasse 发音为/ˈhæsə/, 德語: /ˈhasə/）、在數學分支序理論中，是用來表示有限偏序集的一種數學圖表，它是一種圖形形式的對偏序集的。具體的說，對於偏序集合(S, ≤)，把S的每個元素表示為平面上的頂點，然後若元素yx（就是說，x < y並且沒有z使得 x < z < y），則繪製從x到y向上的線段或弧線。這些弧線可以相互交叉但不能觸及任何非其端點的頂點。帶有標註的頂點的這種圖唯一確定這個集合的偏序。 哈斯圖得名於（1898年–1979年）；依據)，這麼叫是因為Hasse有效的利用了它們。但是Hasse不是第一個使用它們的人，它們早就出現在如)中。儘管哈斯圖被設計為手工繪製偏序集合的技術，最近已經使用技術自動來生成它們了。 術語“哈斯圖”還可以稱呼作為抽象有向無環圖的傳遞簡約，獨立於這個圖的任何繪製形式，但是這裡不採用這種用法。 (zh) |
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| rdfs:comment | في نظرية الترتيب، رسم هاس البياني (بالإنجليزية: Hasse diagram) هو نوع من البيانات المستعملة في الرياضيات لتمثيل مجموعة منتهية مرتبة جزئيا. سمي هذا الرسم هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني هيلموت هاس. (ar) V matematické disciplíně teorie uspořádání se používá Hasseův diagram (pojmenovaný po Helmutu Hasseovi) k zobrazení konečné částečně uspořádané množiny. Konkrétně pro uspořádanou množinu (S,≤) reprezentujeme v Hasseově diagramu každý prvek množiny S jako vrchol grafu. Dva vrcholy se spojí čarou (hranou) vedenou zdola nahoru od x k y, jestliže x < y a neexistuje takové z, že x < z < y (zde je < binární relace získaná z ≤ odejmutím prvků (x,x) pro každé x). Říkáme také, že y pokrývá x nebo že y je bezprostřední předchůdce prvku x. Vrcholy grafu musí být umístěny tak, aby každá hrana spojovala právě dva vrcholy. (cs) En matemàtiques, un diagrama de Hasse és una representació gràfica simplificada d'un conjunt parcialment ordenat finit. Això s'aconsegueix eliminant informació redundant. Per a això es dibuixa una aresta ascendent entre dos elements només si un segueix a un altre sense haver altres elements intermedis. En un diagrama de Hasse s'elimina la necessitat de representar: * Cicles d'un element, ja que s'entén que una relació d'ordre parcial és reflexiva. * Arestes que es dedueixen de la de la relació. (ca) En matemáticas, un diagrama de Hasse es una representación gráfica simplificada de un conjunto parcialmente ordenado finito. Esto se consigue eliminando información redundante. Para ello se dibuja una arista ascendente entre dos elementos solo si uno sigue a otro sin haber otros elementos intermedios. El diagrama está nombrado en honor del matemático alemán Helmut Hasse. En un diagrama de Hasse se elimina la necesidad de representar: * ciclos de un elemento, puesto que se entiende que una relación de orden parcial es reflexiva. * aristas que se deducen de la transitividad de la relación. (es) 하세 도형(Hasse圖形, 영어: Hasse diagram)은 부분 순서 집합의 원소들을 표현하기 위해 고안된 표기법으로, 각 원소의 순서 관계를 그래프로 표현한 것이다. 이 도형을 제안한 헬무트 하세의 이름을 따서 만들었으나, 그 이전인 19세기 말에도 같은 표기법을 썼던 기록이 있다. (ko) Nella teoria degli ordini, un diagramma di Hasse è un modo per rappresentare graficamente un insieme finito parzialmente ordinato. Prende nome da Helmut Hasse (1898–1979). In sostanza, dato un insieme S come sopra, si rappresenta ogni membro di S come vertice e si traccia una linea che va da x a y se x < y e non esiste z tale che x < z < y. In questo caso si dice che y copre x o che y è un successore immediato di x. Inoltre è richiesto che i vertici siano posizionati in modo che ogni segmento incontri esattamente due vertici: i due estremi. Ogni diagramma di questo tipo (poiché i vertici sono etichettati) determina unicamente un ordinamento parziale ma esistono più diagrammi corrispondenti ad un dato ordine. (it) Діаграма Гассе — в теорії порядку, діаграма частково впорядкованої множини, що зображає її транзитивне скорочення як орієнтований граф, де вершинами графу є елементи множини, а ребра графу йдуть вгору від меншого елемента до більшого. (uk) 哈斯圖（英語：Hasse 发音为/ˈhæsə/, 德語: /ˈhasə/）、在數學分支序理論中，是用來表示有限偏序集的一種數學圖表，它是一種圖形形式的對偏序集的。具體的說，對於偏序集合(S, ≤)，把S的每個元素表示為平面上的頂點，然後若元素yx（就是說，x < y並且沒有z使得 x < z < y），則繪製從x到y向上的線段或弧線。這些弧線可以相互交叉但不能觸及任何非其端點的頂點。帶有標註的頂點的這種圖唯一確定這個集合的偏序。 哈斯圖得名於（1898年–1979年）；依據)，這麼叫是因為Hasse有效的利用了它們。但是Hasse不是第一個使用它們的人，它們早就出現在如)中。儘管哈斯圖被設計為手工繪製偏序集合的技術，最近已經使用技術自動來生成它們了。 術語“哈斯圖”還可以稱呼作為抽象有向無環圖的傳遞簡約，獨立於這個圖的任何繪製形式，但是這裡不採用這種用法。 (zh) In der Mathematik ist ein Hasse-Diagramm (auch Ordnungs- oder einfach Liniendiagramm genannt) eine bestimmte graphische Darstellung endlicher halbgeordneter Mengen. Solche Diagramme werden nach dem Mathematiker Helmut Hasse benannt. Manchmal werden Hasse-Diagramme auch verwendet, um Striktordnungen (Ordnungsrelationen zweiter Art) darzustellen. (de) In order theory, a Hasse diagram (/ˈhæsə/; German: [ˈhasə]) is a type of mathematical diagram used to represent a finite partially ordered set, in the form of a drawing of its transitive reduction. Concretely, for a partially ordered set (S, ≤) one represents each element of S as a vertex in the plane and draws a line segment or curve that goes upward from x to y whenever y ≠ x and y covers x (that is, whenever x ≤ y and there is no z such that x ≤ z ≤ y).These curves may cross each other but must not touch any vertices other than their endpoints. Such a diagram, with labeled vertices, uniquely determines its partial order. (en) En mathématiques, le diagramme de Hasse, du nom du mathématicien allemand Helmut Hasse, est une représentation visuelle d'un ordre fini. Similaire à la représentation habituelle d’un graphe sur papier, il en facilite la compréhension. Dans un diagramme de Hasse : À noter qu'en cas d’ordre infini, on peut quand même utiliser le diagramme de Hasse et représenter une restriction finie de l’ordre. (fr) ハッセ図（ハッセず、英: Hasse diagram）は、数学における有限半順序集合を単純に図示する方法のひとつで、半順序のを描いたものである。具体的には有限半順序集合 (S, ≤) があるとき、S の個々の元を頂点とし、x < y で、かつ x < z < y となるような z が存在しない場合にのみ x から y に上向きの線（辺）を描く（ここで二項関係 < は全ての x について (x, x) という元を ≤ から除くことで得られる）。この場合、「 y は x をする」または「 y は x の immediate successor（直接の後続）である」という。さらに、各辺が両端の頂点以外を通らないように頂点を配置する必要がある。このような図（頂点にはラベルが付属するものとする）は半順序を一意に特定し、任意の有限な半順序では推移簡約が一意に定まる。ただし、図における元の配置の仕方は様々なものが考えられ、ひとつの順序集合に対して見た目の異なるハッセ図が多数存在することになる。 「ハッセ図」という言葉は、個々のグラフの描画とは関係なく、抽象概念としての有向非循環グラフの推移簡約を指すこともある。ただし、本項目ではこの意味では使わない。 (ja) Diagram Hassego – graf skierowany przedstawiający częściowy porządek w zbiorze, w odpowiedni sposób przedstawiony graficznie. 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Op deze mani (nl) Em teoria da ordem, um ramo da matemática que estuda várias clases de relações binárias, um diagrama de Hasse (alemão: /ˈhasə/) é um tipo de diagrama matemático utilizado para representar um conjunto parcialmente ordenado finito, na forma de um grafo de sua redução transitiva. A redução transitiva de uma relação binária em um conjunto X é a relação mínima em X tal que o fecho transitivo de é o mesmo que o fecho transitivo de . (pt) Inom är ett Hassediagram ett slags matematiskt diagram som används för att representera en ändlig partialordnad mängd ("pomängd") som ett nätverksdiagram över dess täckningsrelation. För en partiellt ordnad mängd (S, ≤) representeras varje element i S som ett hörn i planet och en kant sammanbinder hörnet x uppåt med alla hörn y som täcker x, det vill säga närhelst x < y och det inte finns något z sådant att x < z < y. Dessa kanter får korsa varandra men ej passera några andra hörn än sina respektive ändpunkter. Ett sådant diagram med betecknade hörn beskriver mängdens partiella ordning på ett unikt sätt. (sv) Диаграмма Хáссе — вид диаграмм, используемый для представления конечного частично упорядоченного множества в виде рисунка его транзитивного сокращения. Конкретно, для частично упорядоченного множества диаграмма представляет каждый элемент как вершины на плоскости и отрезки или кривые, идущие вверх от элемента к элементу , если и не существует элемента , для которого .Эти кривые могут пересекаться, но не должны проходить через вершины, если только они не являются концами линии. Такая диаграмма с помеченными вершинами однозначно определяют частичный порядок. (ru) |
| rdfs:label | رسم هاس البياني (ar) Diagrama de Hasse (ca) Hasseův diagram (cs) Hasse-Diagramm (de) Diagrama de Hasse (es) Diagram Hasse (in) Diagramme de Hasse (fr) Hasse diagram (en) Diagramma di Hasse (it) ハッセ図 (ja) 하세 도형 (ko) Hasse-diagram (nl) Diagram Hassego (pl) Diagrama de Hasse (pt) Диаграмма Хассе (ru) Hassediagram (sv) Діаграма Гассе (uk) 哈斯圖 (zh) |
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