Next-generation matrix (original) (raw)
In epidemiology, the next-generation matrix is used to derive the basic reproduction number, for a compartmental model of the spread of infectious diseases. In population dynamics it is used to compute the basic reproduction number for structured population models. It is also used in multi-type branching models for analogous computations. , where where and Let be the disease-free equilibrium. The values of the Jacobian matrices and are: and respectively. Here, and are m × m matrices, defined as and .
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| dbo:abstract | In epidemiology, the next-generation matrix is used to derive the basic reproduction number, for a compartmental model of the spread of infectious diseases. In population dynamics it is used to compute the basic reproduction number for structured population models. It is also used in multi-type branching models for analogous computations. The method to compute the basic reproduction ratio using the next-generation matrix is given by Diekmann et al. (1990) and van den Driessche and Watmough (2002). To calculate the basic reproduction number by using a next-generation matrix, the whole population is divided into compartments in which there are infected compartments. Let be the numbers of infected individuals in the infected compartment at time t. Now, the epidemic model is , where In the above equations, represents the rate of appearance of new infections in compartment . represents the rate of transfer of individuals into compartment by all other means, and represents the rate of transfer of individuals out of compartment .The above model can also be written as where and Let be the disease-free equilibrium. The values of the Jacobian matrices and are: and respectively. Here, and are m × m matrices, defined as and . Now, the matrix is known as the next-generation matrix. The largest modulus of the eigenvalues or spectral radius of is the basic reproduction number of the model. (en) 疫学において、次世代行列（じせだいぎょうれつ、英: next-generation matrix）は、感染症の流行に関する区画モデルの基本再生産数を得るのに用いられる。個体群動態においては、構造化個体群モデルの基本再生産数を計算するのに用いられる。マルチタイプの分岐過程でも、同様の計算に用いられる。 次世代行列を用いて基本再生産数を計算する方法はDiekmann et al. (1990) と van den Driessche and Watmough (2002)によって与えられた。次世代行列を用いて基本再生産数を計算するために、集団全体を n 個の区画に分割し、はじめの m 個を感染集団の区画とする。時刻 t における区画の個体数を とおき、流行モデル を考える。ここで は i 番目の区画における新規感染の発生率を表しており、 は他のコンパートメントから i 番目の区画への遷移率を、 は i 番目の区画から他の区画への遷移率を表している。このとき とおけば、上のモデルは と書くこともできる。いま x0 を感染症のない定常状態とする。このとき と のヤコビ行列は x0 において となる。ここで F と V は で定義される m 次正方行列である。このとき K = FV −1 は次世代行列と呼ばれる。その最大固有値、すなわちスペクトル半径 R0 = ρ(K) がこのモデルの基本再生産数である。 (ja) |
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