Spectral radius (original) (raw)
Der Spektralradius ist ein Konzept in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis. Der Name erklärt sich dadurch, dass das Spektrum eines Operators in einer Kreisscheibe enthalten ist, deren Radius der Spektralradius ist.
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| dbo:abstract | Si és un endomorfisme sobre un espai de Banach complex , hom anomena radi espectral de , denotat , el radi de la bola tancada més petita de centre 0 que conté tots els valors espectrals de . Sempre té un valor inferior o igual a la de . En dimensió finita, per un endomorfisme amb valors propis complexes , el radi espectral és igual a . En conseqüència, per a tota N, és a dir, per a tota sobre (respectivament ) i per a tota matriu A de (respectivament ), es té que . A més, hem demostrat que , la fita inferior presa sobre el conjunt de les , i d'aquí també sobre les àlgebres normades. El teorema de Gelfand ens diu que el radi espectral d'un endomorfisme ve donat per la fórmula . Per un (en particular per un operador autoadjunt) sobre un espai de Hilbert H, el radi espectral és igual a la norma operacional. D'aquí, hom dedueix que per tot operador A sobre H, . El radi espectral pot ser estrictament inferior a la norma operacional. Per exemple, la matriu té un radi espectral 0, però , d'on (més precisament, perquè es té ). (ca) Der Spektralradius ist ein Konzept in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis. Der Name erklärt sich dadurch, dass das Spektrum eines Operators in einer Kreisscheibe enthalten ist, deren Radius der Spektralradius ist. (de) En matematiko, la spektra radiuso de matrico aŭ estas la preciza supra rando inter la absolutaj valoroj de la eroj en ĝia , kiu estas iam signifata per ρ(·). (eo) En matemáticas, el radio espectral de una matriz o de un operador lineal acotado es el supremo de entre los de los elementos de su espectro, indicándose en ocasiones con ρ(·). (es) Soit un endomorphisme sur un espace de Banach complexe , on appelle rayon spectral de , et on note , le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de . Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de . En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes , le rayon spectral est égal à . Par conséquent, pour toute norme matricielle N, c'est-à-dire toute norme d'algèbre sur (respectivement ) et pour toute matrice A dans (respectivement ), . Démonstration Soit une valeur propre de et un vecteur propre associé. Notons la matrice carrée dont la première colonne est et les autres sont nulles. On a donc et l'on peut simplifier par car le vecteur étant non nul, il en est de même de la matrice . De plus, on montre que , la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des normes subordonnées donc a fortiori sur l'ensemble des normes d'algèbre. Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral d'un endomorphisme est donné par la formule. Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H, . Le rayon spectral peut donc être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice a un rayon spectral 0, mais donc (plus précisément, car nous avons ). (fr) In mathematics, the spectral radius of a square matrix is the maximum of the absolute values of its eigenvalues. More generally, the spectral radius of a bounded linear operator is the supremum of the absolute values of the elements of its spectrum. The spectral radius is often denoted by ρ(·). (en) 数学におけるスペクトル半径（スペクトルはんけい、英: spectral radius）とは、複素正方行列や線形位相空間上の有界線形作用素の固有値の絶対値の最小上界のことである。ギリシャ文字 ρ によって表記されることが多い。 (ja) 수학에서 스펙트럼 반지름(spectrum半径, 영어: spectral radius)이란, 복소정방행렬이나 위상 벡터 공간 위의 유계 작용소의 고윳값의 절댓값의 상한을 말한다. 주로 그리스 문자 ρ로 표기한다. (ko) In matematica, il raggio spettrale di una matrice o di un operatore lineare limitato è l'estremo superiore della norma del modulo degli elementi del suo spettro. Spesso è denotato con . In analisi numerica il raggio spettrale viene utilizzato per determinare se un metodo iterativo è convergente verso la soluzione di un problema. È dimostrato infatti che un metodo iterativo per la risoluzione di un sistema lineare (come il metodo di Jacobi o quello di Gauss-Seidel) converge alla soluzione del sistema se e solo se il raggio spettrale della matrice di iterazione è strettamente minore di 1. (it) Promień spektralny elementu algebry zespolonej z jedynką – liczba nieujemna zdefiniowana wzorem gdzie symbol oznacza widmo elementu w algebrze tzn. zbiór przy czym oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze oraz jedynkę w tej algebrze. W przypadku, gdy widmo elementu jest puste, definiuje się Pojęcie promienia spektralnego ma również sens dla elementów algebr, które nie mają jedynki – w tym przypadku każdy element algebry która nie ma jedynki utożsamia się z elementem algebry powstałej z poprzez dołączenie jedynki. (pl) 數學上，矩阵或有界線性算子的谱半径（spectral radius）是其特徵值絕對值中的最大值（也就是矩阵的谱中元素絕對值中的最小上界），會表示為ρ(·)。 (zh) |
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