Schwarz reflection principle (original) (raw)
Das schwarzsche Spiegelungsprinzip (nach Hermann Schwarz) ist eine Aussage der Funktionentheorie über holomorphe Funktionen. Es erlaubt, unter gewissen Voraussetzungen, eine holomorphe Funktion durch Spiegelung an der reellen Achse holomorph fortzusetzen. Statt der Spiegelung an der reellen Achse, kann man auch an einem Kreisrand spiegeln.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Das schwarzsche Spiegelungsprinzip (nach Hermann Schwarz) ist eine Aussage der Funktionentheorie über holomorphe Funktionen. Es erlaubt, unter gewissen Voraussetzungen, eine holomorphe Funktion durch Spiegelung an der reellen Achse holomorph fortzusetzen. Statt der Spiegelung an der reellen Achse, kann man auch an einem Kreisrand spiegeln. (de) In mathematics, the Schwarz reflection principle is a way to extend the domain of definition of a complex analytic function, i.e., it is a form of analytic continuation. It states that if an analytic function is defined on the upper half-plane, and has well-defined (non-singular) real values on the real axis, then it can be extended to the conjugate function on the lower half-plane. In notation, if is a function that satisfies the above requirements, then its extension to the rest of the complex plane is given by the formula, That is, we make the definition that agrees along the real axis. The result proved by Hermann Schwarz is as follows. Suppose that F is a continuous function on the closed upper half plane , holomorphic on the upper half plane , which takes real values on the real axis. Then the extension formula given above is an analytic continuation to the whole complex plane. In practice it would be better to have a theorem that allows F certain singularities, for example F a meromorphic function. To understand such extensions, one needs a proof method that can be weakened. In fact Morera's theorem is well adapted to proving such statements. Contour integrals involving the extension of F clearly split into two, using part of the real axis. So, given that the principle is rather easy to prove in the special case from Morera's theorem, understanding the proof is enough to generate other results. The principle also adapts to apply to harmonic functions. (en) 複素解析において、シュワルツの鏡像の原理 (シュワルツのきょうぞうのげんり、英: Schwarz reflection principle) は、正則関数の定義域を対称的な領域にまで拡張する定理である。 ヘルマン・シュワルツ (Hermann Schwarz) の名にちなむ。 (ja) 반사 원리(영어: reflection principle)는 복소수의 에 관련된 해석학의 정리 중 하나이다. 헤르만 아만두스 슈바르츠가 제출하였으므로 슈바르츠의 반사 원리라고도 한다. 다음과 같이 공식화될 수 있다: * 복소평면상에서 D가 x축의 선분을 포함하는 x축에 대칭인 영역이고 f가 D에서의 정칙함수라 하자. 이때 D 안의 임의의 점 z에 대해 일 필요충분조건은 (x,0)∈D에 대해 f(x,0)가 실수인 것이다. (ko) Принцип симетрії Шварца (принцип симетрії, принцип Рімана — Шварца) — метод аналітичного продовження функцій комплексної змінної. (uk) Принцип симметрии в основном применяется для аналитического продолжения функций, которые аналитичны на некотором множестве Далее, пусть множество непусто, и на этом множестве функция принимает исключительно вещественные значения. Тогда можно осуществить аналитическое продолжение функции с множества на большее множество , где , с помощью следующей функции: при при Пользуясь принципом соответствия границ, можно доказать более общее утверждение, которое обычно фигурирует в специальной литературе под тем же названием. (ru) |
| dbo:wikiPageID | 3213223 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 2498 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1122718977 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Meromorphic_function dbr:Holomorphic_function dbr:Complex_analytic_function dbr:Complex_plane dbr:Continuous_function dbr:Analytic_continuation dbr:Mathematics dbr:Morera's_theorem dbr:Method_of_image_charges dbc:Mathematical_principles dbr:Kelvin_transform dbr:Upper_half-plane dbr:Harmonic_function dbr:Hermann_Schwarz dbc:Theorems_in_complex_analysis dbc:Harmonic_functions dbr:Schwarz_function dbr:Contour_integral dbr:Real_axis |
| dbp:id | p/r081990 (en) |
| dbp:title | Riemann-Schwarz principle (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:About dbt:Mathworld dbt:Reflist dbt:Short_description |
| dct:subject | dbc:Mathematical_principles dbc:Theorems_in_complex_analysis dbc:Harmonic_functions |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicalPrinciples yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheoremsInComplexAnalysis yago:Abstraction100002137 yago:Cognition100023271 yago:Communication100033020 yago:Content105809192 yago:Function113783816 yago:Generalization105913275 yago:Idea105833840 yago:MathematicalRelation113783581 yago:Message106598915 yago:Principle105913538 yago:Proposition106750804 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:Relation100031921 yago:WikicatHarmonicFunctions yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | Das schwarzsche Spiegelungsprinzip (nach Hermann Schwarz) ist eine Aussage der Funktionentheorie über holomorphe Funktionen. Es erlaubt, unter gewissen Voraussetzungen, eine holomorphe Funktion durch Spiegelung an der reellen Achse holomorph fortzusetzen. Statt der Spiegelung an der reellen Achse, kann man auch an einem Kreisrand spiegeln. (de) 複素解析において、シュワルツの鏡像の原理 (シュワルツのきょうぞうのげんり、英: Schwarz reflection principle) は、正則関数の定義域を対称的な領域にまで拡張する定理である。 ヘルマン・シュワルツ (Hermann Schwarz) の名にちなむ。 (ja) 반사 원리(영어: reflection principle)는 복소수의 에 관련된 해석학의 정리 중 하나이다. 헤르만 아만두스 슈바르츠가 제출하였으므로 슈바르츠의 반사 원리라고도 한다. 다음과 같이 공식화될 수 있다: * 복소평면상에서 D가 x축의 선분을 포함하는 x축에 대칭인 영역이고 f가 D에서의 정칙함수라 하자. 이때 D 안의 임의의 점 z에 대해 일 필요충분조건은 (x,0)∈D에 대해 f(x,0)가 실수인 것이다. (ko) Принцип симетрії Шварца (принцип симетрії, принцип Рімана — Шварца) — метод аналітичного продовження функцій комплексної змінної. (uk) Принцип симметрии в основном применяется для аналитического продолжения функций, которые аналитичны на некотором множестве Далее, пусть множество непусто, и на этом множестве функция принимает исключительно вещественные значения. Тогда можно осуществить аналитическое продолжение функции с множества на большее множество , где , с помощью следующей функции: при при Пользуясь принципом соответствия границ, можно доказать более общее утверждение, которое обычно фигурирует в специальной литературе под тем же названием. (ru) In mathematics, the Schwarz reflection principle is a way to extend the domain of definition of a complex analytic function, i.e., it is a form of analytic continuation. It states that if an analytic function is defined on the upper half-plane, and has well-defined (non-singular) real values on the real axis, then it can be extended to the conjugate function on the lower half-plane. In notation, if is a function that satisfies the above requirements, then its extension to the rest of the complex plane is given by the formula, That is, we make the definition that agrees along the real axis. (en) |
| rdfs:label | Schwarzsches Spiegelungsprinzip (de) 반사 원리 (ko) シュワルツの鏡像の原理 (ja) Schwarz reflection principle (en) Принцип симметрии Шварца (ru) Принцип симетрії Шварца (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Schwarz reflection principle yago-res:Schwarz reflection principle wikidata:Schwarz reflection principle dbpedia-de:Schwarz reflection principle dbpedia-ja:Schwarz reflection principle dbpedia-ko:Schwarz reflection principle dbpedia-ru:Schwarz reflection principle dbpedia-uk:Schwarz reflection principle https://global.dbpedia.org/id/44Tzk |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Schwarz_reflection_principle?oldid=1122718977&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Schwarz_reflection_principle |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Reflection_principle_(disambiguation) |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Schwartz's_principle dbr:Schwarz_reflection dbr:Schwarzian_reflection dbr:Reflection_principle_of_Schwartz |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Schwarz_alternating_method dbr:Schwarzian_derivative dbr:Method_of_image_charges dbr:Lemniscate_elliptic_functions dbr:Reflection_principle_(disambiguation) dbr:Gudermannian_function dbr:Hermann_Schwarz dbr:Schwartz's_principle dbr:Schwarz_reflection dbr:Schwarzian_reflection dbr:Planar_Riemann_surface dbr:Schwarz_function dbr:Schwarz_triangle_function dbr:Riemann–Hilbert_problem dbr:Reflection_principle_of_Schwartz |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Schwarz_reflection_principle |