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In mathematics, the upper half-plane, is the set of points (x, y) in the Cartesian plane with y > 0. (en) 数学、とくにリーマン幾何学あるいは（局所）コンパクト群の調和解析において上半平面（じょうはんへいめん、英: upper half plane）は、虚部が正である複素数全体の成す集合をいう。上半平面は連結な開集合であり、それがリーマン球面に埋め込まれているとみなしたとき、その閉包を閉上半平面と呼ぶ。閉上半平面は上半平面に実軸と無限遠点を含めたものである。（開いた）上半平面を慣例的に H や H あるいは と記す（このとき、下半平面は H− や H− などと書かれ、対比的に上半平面を H+ などと記すこともある）。上半平面は、リー群の表現論やロバチェフスキーの双曲幾何学などの舞台として数論・表現論的、幾何学的に重要な役割を果たす。 または (ja) 수학에서 상반평면(上半平面, 영어: upper half-plane)은 복소평면의 위 절반을 일컫는다. 상반평면은 2차원 쌍곡공간의 자연스러운 모형이며, 또한 모듈러 형식들은 자연스럽게 상반평면에 정의된다. (ko) In de wiskunde is het bovenhalfvlak van de complexe getallen de deelverzameling met positief imaginair deel: De term wordt gekoppeld aan een gemeenschappelijke visualisatie van complexe getallen met punten in het vlak, dat is uitgerust met cartesiaanse coördinaten, met de y-as naar boven: het "bovenhalfvlak" komt overeen met het halfvlak boven de x-as. (nl) Em matemática, o meio-plano superior H é o conjunto de números complexos com parte positiva imaginária y. Outros nomes são plano hiperbólico, plano de Poincaré e plano de Lobachevsky, particularmente em textos de autores russos. Alguns autores preferem o símbolo (pt) В математиці, верхня півплощина (верхня половина площини) H — множина точок декартової площини таких, що . Є окремим випадком півплощини. (uk) 上半平面（upper half-plane）H是一数学名詞，是指由虛部為正的复数組成的集合： 此詞語的由來是因為虛數x + iy常視為是在笛卡儿坐标系下，平面中的點(x,y)，若垂直方向為Y軸時，其上半平面對應X軸以上的區域，因此也對應y > 0區域的複數。 上半平面是許多複分析中重要函數的定義域，特別是模形式。y < 0的下半平面其實也有類似的意義，不過在定義上，較少人用下半平面來定義。开单位圆盘 D（所有绝对值小於1的複數形成的集合）可以由共形映射轉換到H（參照庞加莱度量），因此表示有可能在H和D之間轉換。 上半平面在双曲几何中有重要的地位，庞加莱半平面模型提供一種檢驗的方式。龐加萊度量提供此空間下的雙曲度量张量。 曲面的单值化定理提到上半平面是所有高斯曲率為負常數之空間的萬有覆疊空間。 閉上半平面（closed upper half-plane）是上半平面和X軸的并集，也是上半平面的闭包。 (zh) В математике, верхняя полуплоскость (верхняя половина плоскости) H — множество точек декартовой плоскости таких, что . Является частным случаем полуплоскости. (ru) |
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In mathematics, the upper half-plane, is the set of points (x, y) in the Cartesian plane with y > 0. (en) 数学、とくにリーマン幾何学あるいは（局所）コンパクト群の調和解析において上半平面（じょうはんへいめん、英: upper half plane）は、虚部が正である複素数全体の成す集合をいう。上半平面は連結な開集合であり、それがリーマン球面に埋め込まれているとみなしたとき、その閉包を閉上半平面と呼ぶ。閉上半平面は上半平面に実軸と無限遠点を含めたものである。（開いた）上半平面を慣例的に H や H あるいは と記す（このとき、下半平面は H− や H− などと書かれ、対比的に上半平面を H+ などと記すこともある）。上半平面は、リー群の表現論やロバチェフスキーの双曲幾何学などの舞台として数論・表現論的、幾何学的に重要な役割を果たす。 または (ja) 수학에서 상반평면(上半平面, 영어: upper half-plane)은 복소평면의 위 절반을 일컫는다. 상반평면은 2차원 쌍곡공간의 자연스러운 모형이며, 또한 모듈러 형식들은 자연스럽게 상반평면에 정의된다. (ko) In de wiskunde is het bovenhalfvlak van de complexe getallen de deelverzameling met positief imaginair deel: De term wordt gekoppeld aan een gemeenschappelijke visualisatie van complexe getallen met punten in het vlak, dat is uitgerust met cartesiaanse coördinaten, met de y-as naar boven: het "bovenhalfvlak" komt overeen met het halfvlak boven de x-as. (nl) Em matemática, o meio-plano superior H é o conjunto de números complexos com parte positiva imaginária y. Outros nomes são plano hiperbólico, plano de Poincaré e plano de Lobachevsky, particularmente em textos de autores russos. Alguns autores preferem o símbolo (pt) В математиці, верхня півплощина (верхня половина площини) H — множина точок декартової площини таких, що . Є окремим випадком півплощини. (uk) 上半平面（upper half-plane）H是一数学名詞，是指由虛部為正的复数組成的集合： 此詞語的由來是因為虛數x + iy常視為是在笛卡儿坐标系下，平面中的點(x,y)，若垂直方向為Y軸時，其上半平面對應X軸以上的區域，因此也對應y > 0區域的複數。 上半平面是許多複分析中重要函數的定義域，特別是模形式。y < 0的下半平面其實也有類似的意義，不過在定義上，較少人用下半平面來定義。开单位圆盘 D（所有绝对值小於1的複數形成的集合）可以由共形映射轉換到H（參照庞加莱度量），因此表示有可能在H和D之間轉換。 上半平面在双曲几何中有重要的地位，庞加莱半平面模型提供一種檢驗的方式。龐加萊度量提供此空間下的雙曲度量张量。 曲面的单值化定理提到上半平面是所有高斯曲率為負常數之空間的萬有覆疊空間。 閉上半平面（closed upper half-plane）是上半平面和X軸的并集，也是上半平面的闭包。 (zh) В математике, верхняя полуплоскость (верхняя половина плоскости) H — множество точек декартовой плоскости таких, что . Является частным случаем полуплоскости. (ru) |
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上半平面 (ja) 상반평면 (ko) Bovenhalfvlak (nl) Meio-plano superior (pt) Upper half-plane (en) Верхняя полуплоскость (ru) 上半平面 (zh) Верхня півплощина (uk) |
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