commutative ring - Weblio 英和・和英辞典 (original) (raw)

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commutative ring

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commutative ring

Commutative ring

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commutative ring

名詞

commutative ring (複数形 commutative rings)

(algebra, ring theory) A ring whose multiplicative operation is commutative.
- 1960, Oscar Zariski, Pierre Samuel, Commutative Algebra II, Springer, page 129,
  Among commutative rings, the polynomial rings in a finite number of indeterminates enjoy important special properties and are frequently used in applications.
- 2002, Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra, American Mathematical Society, 2nd Edition, page 295,
  As usual, it is simpler to begin by looking at a more general setting—in this case, **commutative rings**—before getting involved with polynomial rings. It turns out that the nature of the ideals in a commutative ring is important: for example, we have already seen that gcd 's exist in PIDs, while this may not be true in other commutative rings.
- 2004, K. R. Goodearl, R. B. Warfield, Jr., An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, Cambridge University Press, page 47,
  In trying to understand the ideal theory of a commutative ring, one quickly sees that it is important to first understand the prime ideals. We recall that a proper ideal P {\displaystyle P} $P$ in a commutative ring R {\displaystyle R} $R$ is prime if, whenever we have two elements a {\displaystyle a} $a$ and b {\displaystyle b} $b$ of R {\displaystyle R} $R$ such that a b ∈ P {\displaystyle ab\in P} $ab\in P$ , it follows that a ∈ P {\displaystyle a\in P} $a\in P$ or b ∈ P {\displaystyle b\in P} $b\in P$ ; equivalently, P {\displaystyle P} $P$ is a prime ideal if and only if the factor ring R / P {\displaystyle R/P} $R/P$ is a domain.

下位語

integral domain
- unique factorization domain, Noetherian domain
  * principal ideal domain
  * Euclidean domain
  * field
local ring
commutative algebra
- polynomial ring

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