kontinuert funktion (original) (raw)

Kontinuert funktion er et matematisk begreb. Intuitivt er en reel funktion \(y = f(x)\) af en reel variabel kontinuert, hvis en lille ændring i \(x\) kun fører til en lille ændring i \(y\). Geometrisk formuleret betyder kontinuitet, at funktionens graf er en sammenhængende kurve. Begrebet kan præciseres ved hjælp af grænseværdi: Funktionen \(f\) er kontinuert i punktet \(x_0\), som kaldes et kontinuitetspunkt for \(f\), hvis \[\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = f(x_0).\] Funktionen kaldes dernæst kontinuert, hvis den er kontinuert i alle punkter i definitionsmængden. Hvis funktionen ikke er kontinuert, kaldes den diskontinuert. At \(x_0\) er et kontinuitetspunkt kan også udtrykkes ved konvergens på følgende måde: For enhver talfølge \(x_n\), som konvergerer mod \(x_0\), skal følgen af funktionsværdier \(f(x_n)\) konvergere mod \(f(x_0)\).

Først med Weierstrass' forelæsninger i anden halvdel af 1800-t. nåede kontinuitetsbegrebet en præcision, som vi i dag finder tilfredsstillende. Hans definition på kontinuitet i \(x_0\) lyder: Til hvert \(\epsilon > 0\) skal der findes \(\delta = \delta(x_0) > 0\), så der for alle \(x\) med \(|x-x_0| < \delta\) gælder \(|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\).

Funktionen kaldes uniformt kontinuert (ligeligt kontinuert), hvis \(\delta = \delta(x_0)\) kan vælges uafhængigt af \(x_0\) i definitionsmængden. Funktionen \(y=x^2\) defineret for alle reelle \(x\) er kontinuert uden at være uniformt kontinuert.

Definitionerne lader sig umiddelbart overføre til afbildninger \(f \ : \ M \rightarrow N\) mellem to metriske rum \(M\) og \(N\). Kontinuitet kan karakteriseres ved systemerne af åbne mængder i de metriske rum på følgende måde: For enhver åben mængde \(G\) i \(N\) er \(f^1(G)\) åben i \(M\). Denne karakterisering har stor teoretisk betydning og tillader også studiet af kontinuitet i topologiske rum.

Weierstrass viste i 1861 hovedsætningen om kontinuerte funktioner \(f \ : \ [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\). Sætningen siger, at \(f\)'s billedmængde er et afsluttet, begrænset interval; specielt har funktionen en største og en mindste værdi. Den tyske matematiker E. Heine (1821-1881) indførte begrebet uniformt kontinuert funktion og viste i 1872, at en kontinuert funktion på et afsluttet, begrænset interval er uniformt kontinuert.

Ampère hævdede, at enhver kontinuert funktion er differentiabel på nær i få punkter. Det var derfor overraskende, at Weierstrass ved hjælp af sin præcise definition i 1872 kunne konstruere en kontinuert funktion af en reel variabel, som ikke er differentiabel i noget punkt.