Douglas Catulio Santos | Secretaria De Educação (original) (raw)

Papers by Douglas Catulio Santos

Journal of Nanoparticle Research, 2018

REMAT, 2024

Neste artigo, para uma base d >= 2 fixada, apresentamos e analisamos algumas propriedades associa... more Neste artigo, para uma base d >= 2 fixada, apresentamos e analisamos algumas propriedades associadas à classe dos números suavemente ondulantes da forma [ab_n]_d, que chamaremos de NSOG. Expressamos a Fórmula de Binet para todo NSOG. Em particular, estudamos a relação de divisibilidade ou multiplicidade entre dois números NSOG. Em destaque os NSOG são aqueles formados apenas por 1 e 0, em qualquer base d >= 2, e denotamos por [10_n]_d. Acerca destes números [10_n]_d, mostramos que nenhum é primo em base 10. E mais, apresentamos um algoritmo para o cálculo do MDC entre dois números [10_n]_d, com n ímpar. Além disso, mostramos que a diferença entre dois números NSOG é um quadrado perfeito. Por fim, apresentamos a conexão entre os NSOG com os números monodígitos, repunidades e triangulares.

C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, 2024

O estudo investiga a sequencia repunidade, caracterizados por uma recorrência linear de segunda o... more O estudo investiga a sequencia repunidade, caracterizados por uma recorrência linear de segunda ordem. Empregando a teoria de Horadam a sequência e a álgebra matricial, elucidamos a sequência, destacando o papel central da matriz geradora na análise de sequência. Os resultados revelam uma profunda inter-relação entre as propriedades da sequência e da matriz. A investigação culmina em um exame meticuloso das propriedades aritméticas e numa interpretação da matriz repunidade. Metodologicamente, integra análises teóricas e matriciais, enraizadas em recorrências e álgebra linear, oferecendo uma visão acadêmica abrangente sobre as complexidades das sequências.

Mathematics, 2024

In this paper, we define a novel family of arithmetic sequences associated with the Fibonacci num... more In this paper, we define a novel family of arithmetic sequences associated with the Fibonacci numbers. Consider the ordinary Fibonacci sequence {𝑓𝑛}𝑛∈ℕ0
having initial terms 𝑓0=0
, and 𝑓1=1
and recurrence relation 𝑓𝑛=𝑓𝑛−1+𝑓𝑛−2(𝑛≥2)
. In many studies, authors worked on the generalizations of integer sequences in different ways, some by preserving the initial terms, others by preserving the recurrence relation, and some for numeric sets other than positive integers. Here, we will follow the third path. So, in this article, we study a new extension 𝑡𝑓∗𝑛
, with initial terms 𝑡𝑓∗0=(𝑓∗0,𝑓∗1,𝑓∗2)
and 𝑡𝑓∗1=(𝑓∗1,𝑓∗2,𝑓∗3)
, which is generated by the recurrence relation 𝑡𝑓∗𝑛=𝑡𝑓∗𝑛−1+𝑡𝑓∗𝑛−2(𝑛≥2)
, the Fibonacci-type sequence. The aim of this paper is to define Tricomplex Fibonacci numbers as an extension of the Fibonacci sequence and to examine some of their properties such as the recurrence relation, summation formula and generating function, and some classical identities.

Symmetry, 2025

In this paper, we introduce a new family of sequences related to Horadamtype sequences. Specific... more In this paper, we introduce a new family of sequences related to Horadamtype sequences. Specifically, we consider the repunit sequence {rn}n≥0, which is defined
by the initial terms r0 = 0 and r1 = 1 and follows the Horadam recurrence relation
given by rn = 11rn−1 − 10rn−2 for n ≥ 2. Many studies have explored generalizations
of integer sequences in different directions: some by preserving the initial terms, some
by preserving the recurrence relation, and some by considering different numerical sets
beyond positive integers. In this article, we take the third approach. Specifically, we
study these sequences in the context of the tricomplex ring T. We define the Tricomplex
Repunit sequence {trn}n≥0, with initial terms tr0 = (0, 1, 11) and tr1 = (1, 11, 111), and
governed by the recurrence relation trn = 11trn−1 − 10trn−2, for n ≥ 2. This sequence
is also a Horadam-type sequence but defined in the tricomplex ring T. In this paper, we
establish the properties of the Tricomplex Repunit sequence and establish several new
as well as well-known identities associated with it, including Binet’s formula, Tagiuri–
Vajda’s identity, d’Ocagne’s identity, and Catalan’s identity. We also derive the generating
function for this sequence. Furthermore, we study various additional properties of these
generalized sequences and establish results concerning the summation of terms related to
the Tricomplex Repunit sequence, and one of our main goals is to determine analogous
or symmetrical properties for the Tricomplex Repunit sequence to those we know for the
ordinary repunit sequence.

RMAT, 2024

This work introduces two new sequences: the gaussian repunit numbers and the quaternion repunit n... more This work introduces two new sequences: the gaussian repunit numbers and the quaternion repunit numbers. Weestablish some properties of these sequences, as well as, recurrence relations, the Binet formula, and Catalan’s,Cassini’s, and d’Ocganes identities.

The aim of this study is to identify the influence exerted by “problem solving” on the learning o... more The aim of this study is to identify the influence exerted by “problem solving” on the learning of arithmetic concepts, especially those associated with repunits (unit repetition), with a view to problem solving as a methodological teaching tool. The work consists of a proposal of a mathematical workshop composed of a collection of problems with different resolution techniques. The target audience of this workshop is students from the 7th grade of Elementary School II, this workshop will have the problem solving approach, defended by Dante. (2003), Polya (2003) and the official education documents, as well as other authors, besides this paper presents a study about the arithmetic properties of the numbers textit repunits, innovating some unpublished propositions related to this class of numbers. integers. The problems addressed in this activity proposal were divided into two groups, introductory problems and exploratory problems. One purpose of this workshop is to encourage the stud...

Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática, 2024

Neste trabalho, realizamos uma investigação acerca das matrizes geradoras da sequência repunidade... more Neste trabalho, realizamos uma investigação acerca das matrizes geradoras da sequência repunidade. Apresentamos uma matriz R que descreve cada elemento da sequência repunidade em termos das potências da matriz R. Além disso, como resultado dessa investigação, demonstramos algumas identidades, destacando a Identidade de Cassini. Apresentamos também a matriz tridiagonal que estabelece uma expressão para o determinante de uma matriz tridiagonal, mostramos que a forma recursiva da sequência repunidade surge como consequência no cálculo do determinante de uma matriz tridiagonal.

Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática, Apr 23, 2024

Neste trabalho, realizamos uma investigação acerca das matrizes geradoras da sequência repunidade... more Neste trabalho, realizamos uma investigação acerca das matrizes geradoras da sequência repunidade. Apresentamos uma matriz R que descreve cada elemento da sequência repunidade em termos das potências da matriz R. Além disso, como resultado dessa investigação, demonstramos algumas identidades, destacando a Identidade de Cassini. Apresentamos também a matriz tridiagonal que estabelece uma expressão para o determinante de uma matriz tridiagonal, mostramos que a forma recursiva da sequência repunidade surge como consequência no cálculo do determinante de uma matriz tridiagonal.

C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática

Seja 𝑛 um número inteiro não negativo. Neste trabalho consideramos a usual sequência de Pell, a q... more Seja 𝑛 um número inteiro não negativo. Neste trabalho consideramos a usual sequência de Pell, a qual denotamos por P𝑛 e o elemento de posição 𝑛 ≥ 0 desta sequência por 𝑃𝑛. Bicknell (1975) afirma que a sequência de Pell possui propriedades aritméticas semelhantes as propriedades da sequência de Fibonacci ou Lucas (que não serão tratadas aqui), no entanto é pouco conhecida ou difundida, sendo restrita a pesquisadores, estudiosos ou diletantes em Teoria dos Números. Com a curiosidade atiçada pela afirmação de Bicknell, estudamos (revisão bibliográfica) algumas propriedades desta sequência numérica. Por exemplo, Santana e Díaz-Barrero (2006) apresentam um estudo sobre algumas somas parciais de termos 𝑃𝑛, isso nos instigou a fazermos algumas observações e conjecturar alguns resultados, e assim obtemos alguns resultados. Em especial Santana e Díaz-Barrero (2006) mostram que, a soma dos primeiros 4𝑛 + 1 elementos de P𝑛 é um quadrado perfeito. Nossa principal contribuição é uma caracterizaç...

This note presents results related to divisibility or multiplicity between two numbers in the cla... more This note presents results related to divisibility or multiplicity between two numbers in the class of integers called smoothly undulating numbers of the type uz[n]. The main result is to characterize and display the types of divisors of some types of numbers uz[n], and we show an algorithm to determine the greatest common divisor between two numbers uz[n].

INTERMATHS, 2023

This note presents results related to divisibility or multiplicity between two numbers in the cla... more This note presents results related to divisibility or multiplicity between two numbers in the class of integers called smoothly undulating numbers of the type uz[n]. The main result is to characterize and display the types of divisors of some types of numbers uz[n], and we show an algorithm to determine the greatest common divisor between two numbers uz[n].

C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática

Neste trabalho, consideramos uma sequência formada apenas pelos números repunidades Rn, em que Rn... more Neste trabalho, consideramos uma sequência formada apenas pelos números repunidades Rn, em que Rn indica os números formados pela repetição da unidade, tal abordagem ocorre em referência as propriedades das sequências de Lucas, conforme abordado por Jaroma (2007). Em destaque, para a sequência numérica das repunidades mostramos que também vale as Identidade de Catalan e Cassini. Em 1978 Yates afirmara que existe um fascínio pelos números repunidades, que advém da sua aplicação em vários problemas de recreação matemática. Aqui também exibimos algumas propriedades inerentes a classe numérica dos RnR_nRn, mostramos algumas relações entre repunidades e potências de repunidades com algum expoente natural; e mais, estudamos a relação de divisibilidade entre seus termos, em especial a característica do fator primo da repunidade. Ademais, provamos a conjectura proposta por Costa e Santos (2022) acerca do quociente de um tipo de repunidade

Revista Professor de Matemática On line, 2020

Neste artigo relatamos nossa experiência em uma oficina de resolução de problemas, em que partici... more Neste artigo relatamos nossa experiência em uma oficina de resolução de problemas, em que participavam estudantes a partir do sétimo ano do Ensino Fundamental, com objetivo de treinamento para competição matemática. Nela enfatizamos a importância entre a resolução de problemas e o processo de aprendizagem dos conceitos aritméticos associados aos números repunidades (repetição de unidade), buscando o desenvolvimento de habilidades nos estudantes, tais como: investigar, descobrir, propor, conjecturar e validar conceitos acerca dos números repunidades, explorando situações-problemas.

Journal of Nanoparticle Research, 2018

REMAT, 2024

Neste artigo, para uma base d >= 2 fixada, apresentamos e analisamos algumas propriedades associa... more Neste artigo, para uma base d >= 2 fixada, apresentamos e analisamos algumas propriedades associadas à classe dos números suavemente ondulantes da forma [ab_n]_d, que chamaremos de NSOG. Expressamos a Fórmula de Binet para todo NSOG. Em particular, estudamos a relação de divisibilidade ou multiplicidade entre dois números NSOG. Em destaque os NSOG são aqueles formados apenas por 1 e 0, em qualquer base d >= 2, e denotamos por [10_n]_d. Acerca destes números [10_n]_d, mostramos que nenhum é primo em base 10. E mais, apresentamos um algoritmo para o cálculo do MDC entre dois números [10_n]_d, com n ímpar. Além disso, mostramos que a diferença entre dois números NSOG é um quadrado perfeito. Por fim, apresentamos a conexão entre os NSOG com os números monodígitos, repunidades e triangulares.

C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, 2024

O estudo investiga a sequencia repunidade, caracterizados por uma recorrência linear de segunda o... more O estudo investiga a sequencia repunidade, caracterizados por uma recorrência linear de segunda ordem. Empregando a teoria de Horadam a sequência e a álgebra matricial, elucidamos a sequência, destacando o papel central da matriz geradora na análise de sequência. Os resultados revelam uma profunda inter-relação entre as propriedades da sequência e da matriz. A investigação culmina em um exame meticuloso das propriedades aritméticas e numa interpretação da matriz repunidade. Metodologicamente, integra análises teóricas e matriciais, enraizadas em recorrências e álgebra linear, oferecendo uma visão acadêmica abrangente sobre as complexidades das sequências.

Mathematics, 2024

In this paper, we define a novel family of arithmetic sequences associated with the Fibonacci num... more In this paper, we define a novel family of arithmetic sequences associated with the Fibonacci numbers. Consider the ordinary Fibonacci sequence {𝑓𝑛}𝑛∈ℕ0
having initial terms 𝑓0=0
, and 𝑓1=1
and recurrence relation 𝑓𝑛=𝑓𝑛−1+𝑓𝑛−2(𝑛≥2)
. In many studies, authors worked on the generalizations of integer sequences in different ways, some by preserving the initial terms, others by preserving the recurrence relation, and some for numeric sets other than positive integers. Here, we will follow the third path. So, in this article, we study a new extension 𝑡𝑓∗𝑛
, with initial terms 𝑡𝑓∗0=(𝑓∗0,𝑓∗1,𝑓∗2)
and 𝑡𝑓∗1=(𝑓∗1,𝑓∗2,𝑓∗3)
, which is generated by the recurrence relation 𝑡𝑓∗𝑛=𝑡𝑓∗𝑛−1+𝑡𝑓∗𝑛−2(𝑛≥2)
, the Fibonacci-type sequence. The aim of this paper is to define Tricomplex Fibonacci numbers as an extension of the Fibonacci sequence and to examine some of their properties such as the recurrence relation, summation formula and generating function, and some classical identities.

Symmetry, 2025

In this paper, we introduce a new family of sequences related to Horadamtype sequences. Specific... more In this paper, we introduce a new family of sequences related to Horadamtype sequences. Specifically, we consider the repunit sequence {rn}n≥0, which is defined
by the initial terms r0 = 0 and r1 = 1 and follows the Horadam recurrence relation
given by rn = 11rn−1 − 10rn−2 for n ≥ 2. Many studies have explored generalizations
of integer sequences in different directions: some by preserving the initial terms, some
by preserving the recurrence relation, and some by considering different numerical sets
beyond positive integers. In this article, we take the third approach. Specifically, we
study these sequences in the context of the tricomplex ring T. We define the Tricomplex
Repunit sequence {trn}n≥0, with initial terms tr0 = (0, 1, 11) and tr1 = (1, 11, 111), and
governed by the recurrence relation trn = 11trn−1 − 10trn−2, for n ≥ 2. This sequence
is also a Horadam-type sequence but defined in the tricomplex ring T. In this paper, we
establish the properties of the Tricomplex Repunit sequence and establish several new
as well as well-known identities associated with it, including Binet’s formula, Tagiuri–
Vajda’s identity, d’Ocagne’s identity, and Catalan’s identity. We also derive the generating
function for this sequence. Furthermore, we study various additional properties of these
generalized sequences and establish results concerning the summation of terms related to
the Tricomplex Repunit sequence, and one of our main goals is to determine analogous
or symmetrical properties for the Tricomplex Repunit sequence to those we know for the
ordinary repunit sequence.

RMAT, 2024

This work introduces two new sequences: the gaussian repunit numbers and the quaternion repunit n... more This work introduces two new sequences: the gaussian repunit numbers and the quaternion repunit numbers. Weestablish some properties of these sequences, as well as, recurrence relations, the Binet formula, and Catalan’s,Cassini’s, and d’Ocganes identities.

The aim of this study is to identify the influence exerted by “problem solving” on the learning o... more The aim of this study is to identify the influence exerted by “problem solving” on the learning of arithmetic concepts, especially those associated with repunits (unit repetition), with a view to problem solving as a methodological teaching tool. The work consists of a proposal of a mathematical workshop composed of a collection of problems with different resolution techniques. The target audience of this workshop is students from the 7th grade of Elementary School II, this workshop will have the problem solving approach, defended by Dante. (2003), Polya (2003) and the official education documents, as well as other authors, besides this paper presents a study about the arithmetic properties of the numbers textit repunits, innovating some unpublished propositions related to this class of numbers. integers. The problems addressed in this activity proposal were divided into two groups, introductory problems and exploratory problems. One purpose of this workshop is to encourage the stud...

Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática, 2024

Neste trabalho, realizamos uma investigação acerca das matrizes geradoras da sequência repunidade... more Neste trabalho, realizamos uma investigação acerca das matrizes geradoras da sequência repunidade. Apresentamos uma matriz R que descreve cada elemento da sequência repunidade em termos das potências da matriz R. Além disso, como resultado dessa investigação, demonstramos algumas identidades, destacando a Identidade de Cassini. Apresentamos também a matriz tridiagonal que estabelece uma expressão para o determinante de uma matriz tridiagonal, mostramos que a forma recursiva da sequência repunidade surge como consequência no cálculo do determinante de uma matriz tridiagonal.

Revista Sergipana de Matemática e Educação Matemática, Apr 23, 2024

Neste trabalho, realizamos uma investigação acerca das matrizes geradoras da sequência repunidade... more Neste trabalho, realizamos uma investigação acerca das matrizes geradoras da sequência repunidade. Apresentamos uma matriz R que descreve cada elemento da sequência repunidade em termos das potências da matriz R. Além disso, como resultado dessa investigação, demonstramos algumas identidades, destacando a Identidade de Cassini. Apresentamos também a matriz tridiagonal que estabelece uma expressão para o determinante de uma matriz tridiagonal, mostramos que a forma recursiva da sequência repunidade surge como consequência no cálculo do determinante de uma matriz tridiagonal.

C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática

Seja 𝑛 um número inteiro não negativo. Neste trabalho consideramos a usual sequência de Pell, a q... more Seja 𝑛 um número inteiro não negativo. Neste trabalho consideramos a usual sequência de Pell, a qual denotamos por P𝑛 e o elemento de posição 𝑛 ≥ 0 desta sequência por 𝑃𝑛. Bicknell (1975) afirma que a sequência de Pell possui propriedades aritméticas semelhantes as propriedades da sequência de Fibonacci ou Lucas (que não serão tratadas aqui), no entanto é pouco conhecida ou difundida, sendo restrita a pesquisadores, estudiosos ou diletantes em Teoria dos Números. Com a curiosidade atiçada pela afirmação de Bicknell, estudamos (revisão bibliográfica) algumas propriedades desta sequência numérica. Por exemplo, Santana e Díaz-Barrero (2006) apresentam um estudo sobre algumas somas parciais de termos 𝑃𝑛, isso nos instigou a fazermos algumas observações e conjecturar alguns resultados, e assim obtemos alguns resultados. Em especial Santana e Díaz-Barrero (2006) mostram que, a soma dos primeiros 4𝑛 + 1 elementos de P𝑛 é um quadrado perfeito. Nossa principal contribuição é uma caracterizaç...

This note presents results related to divisibility or multiplicity between two numbers in the cla... more This note presents results related to divisibility or multiplicity between two numbers in the class of integers called smoothly undulating numbers of the type uz[n]. The main result is to characterize and display the types of divisors of some types of numbers uz[n], and we show an algorithm to determine the greatest common divisor between two numbers uz[n].

INTERMATHS, 2023

This note presents results related to divisibility or multiplicity between two numbers in the cla... more This note presents results related to divisibility or multiplicity between two numbers in the class of integers called smoothly undulating numbers of the type uz[n]. The main result is to characterize and display the types of divisors of some types of numbers uz[n], and we show an algorithm to determine the greatest common divisor between two numbers uz[n].

C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática

Neste trabalho, consideramos uma sequência formada apenas pelos números repunidades Rn, em que Rn... more Neste trabalho, consideramos uma sequência formada apenas pelos números repunidades Rn, em que Rn indica os números formados pela repetição da unidade, tal abordagem ocorre em referência as propriedades das sequências de Lucas, conforme abordado por Jaroma (2007). Em destaque, para a sequência numérica das repunidades mostramos que também vale as Identidade de Catalan e Cassini. Em 1978 Yates afirmara que existe um fascínio pelos números repunidades, que advém da sua aplicação em vários problemas de recreação matemática. Aqui também exibimos algumas propriedades inerentes a classe numérica dos RnR_nRn, mostramos algumas relações entre repunidades e potências de repunidades com algum expoente natural; e mais, estudamos a relação de divisibilidade entre seus termos, em especial a característica do fator primo da repunidade. Ademais, provamos a conjectura proposta por Costa e Santos (2022) acerca do quociente de um tipo de repunidade

Revista Professor de Matemática On line, 2020

Neste artigo relatamos nossa experiência em uma oficina de resolução de problemas, em que partici... more Neste artigo relatamos nossa experiência em uma oficina de resolução de problemas, em que participavam estudantes a partir do sétimo ano do Ensino Fundamental, com objetivo de treinamento para competição matemática. Nela enfatizamos a importância entre a resolução de problemas e o processo de aprendizagem dos conceitos aritméticos associados aos números repunidades (repetição de unidade), buscando o desenvolvimento de habilidades nos estudantes, tais como: investigar, descobrir, propor, conjecturar e validar conceitos acerca dos números repunidades, explorando situações-problemas.