双対多面体とは - わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)
 |
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）出典検索?: "双対多面体" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2020年4月) |
|---|
双対多面体（そうついためんたい、英語：dual polyhedron）、ある立体の頂点と面を入れ替えた立体のことをいう。具体的には、面の重心を新たな頂点とし、辺で接する面の重心同士を辺で結び（したがって辺の数は変わらない）、頂点で接する面の重心を結ぶ多角形を面とする。ただし、定量的な長さや角度を問題とせず、トポロジー（頂点・辺・面の接する関係）だけを問題とすることもある。3次元における双対多胞体である。多面体について述べていることが自明なときは単に双対という。双対多面体の双対多面体は元の多面体である。自身と双対関係にある多面体を自己双対多面体という。
正多面体の双対関係
正六面体と正八面体の双対関係
正多面体の双対はまた正多面体になる。その関係は、
となる。
その他の正多面体（星型正多面体、ねじれ正多面体、正平面充填形）でも、
- 小星型十二面体⇔大十二面体
- 大星型十二面体⇔大二十面体
- 四角六片四角孔ねじれ正多面体⇔六角四片四角孔ねじれ正多面体
- 六角六片三角孔ねじれ正多面体⇔六角六片三角孔ねじれ正多面体（自己双対）
- 正三角形による平面充填形⇔正六角形による平面充填形
- 正方形による平面充填形⇔正方形による平面充填形（自己双対）
と、同じように正多面体になる。
半正多面体の双対
半正多面体の双対のことをアルキメデス双対または**カタランの立体**という。アルキメデス双対は、_半正多面体の各面の中心を結んだ立体_ではなく、その_アルキメデス双対の面の中心を結ぶと元の半正多面体になる立体_である。また、_全ての面が合同で、全ての二面角が同じ_という性質も持つ。このうち切頂n面体の双対は、もとの正n面体の双対である正m面体の各面の中心を持ち上げた形で、p方m面体という。
- 切頂四面体⇔三方四面体
- 切頂六面体⇔三方八面体
- 切頂八面体⇔四方六面体
- 切頂十二面体⇔三方二十面体
- 切頂二十面体⇔五方十二面体
- 立方八面体⇔菱形十二面体
- 二十・十二面体⇔菱形三十面体
- 斜方立方八面体⇔凧形二十四面体
- 斜方二十・十二面体⇔凧形六十面体
- 斜方切頂立方八面体⇔六方八面体
- 斜方切頂二十・十二面体⇔六方二十面体
- 変形立方体⇔五角二十四面体
- 変形十二面体⇔五角六十面体
また、凸でない一様多面体も双対を作ることができる。その双対は、元の立体の枠の双対の星型である。
- 小二重三角二十・十二面体⇔小三角六辺形二十面体
- 大二十・十二面体⇔大菱形三十面体
など
角柱、反角柱の双対
……
アルキメデスの正角柱は底面の正多角形の辺数が多くなるにつれ、細長くなっていく。
反角柱の双対は**ねじれ双角錐**になる。面の形は凧形である。
- 反三角柱（特別な場合として正八面体）⇔ねじれ双三角錐（特別な場合として立方体）
- 反四角柱⇔ねじれ双四角錐
- 反五角柱⇔ねじれ双五角錐
……
アルキメデスの反角柱は底面の正多角形の辺数が多くなるにつれ、細長くなっていく。
