「正二十面体」の意味や使い方 わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)
| 正二十面体 | |
|---|---|
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| 種別 | 正多面体、デルタ多面体、二十面体 |
| 面形状 | 20枚の正三角形 |
| 辺数 | 30 |
| 頂点数 | 12 |
| 頂点形状 | 35 |
| シュレーフリ記号 | {3, 5} |
| ワイソフ記号 | 5 | 2 3 |
| 対称群 | Ih |
| 双対多面体 | 正十二面体 |
| 特性 | 凸集合 |
 展開図の例 |
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正二十面体（せいにじゅうめんたい、英: regular icosahedron）は立体の名称の1つ。空間を正三角形20枚で囲んだ凸多面体。3次元空間で最大の面数を持つ正多面体である。
正多面体のひとつである正十二面体の頂点周りを面の中心まで切頂することによって得られる（双対関係）。
また、正六面体や正十二面体に対する捩じり切り操作と同様の操作を正四面体に対して行うことでも得られる[1]。
性質
正二十面体サイコロ
- 正反五角柱の両底面に正五角錐を貼り付けた形である。よって、正二十面体を双五角錐反柱 (Gyroelongated pentagonal bipyramid) と呼ぶ場合がある。
- 向かい合う面は平行である。
- 展開図の数は43,380種類。
- 面の数は20、辺の数は30、頂点の数は12。
- 頂点形状は正五角形であり、5本の辺と5枚の正三角形が集まる。
- 正十二面体と双対である。
計量
一辺の長さをaとすると、
| 面の面積 | A = 1 4 3 a 2 {\displaystyle A={1 \over 4}{\sqrt {3}}a^{2}}  全正二十面体的対称性（英語版）には（この球面で水色の大円として見えている）15枚の鏡映平面があり、それらはπ/5、π/3、π/2の角度で会し、球面を120の三角形の基本領域（英語版）（黄）に分かつ。また、6本の5回回転軸（英: 5-fold axes）（青）、10本の3回回転軸（赤）、15本の2回回転軸（赤紫）がある。正二十面体の頂点は5回回転軸上の点に存在する。 正二十面体の回転対称性の群（英語版） I {\displaystyle I}  大十二面体 |
 小星型十二面体 |
 大二十面体 |
|---|
派生的な立体
近縁となるジョンソンの立体
正二十面体と近縁となるジョンソンの立体は次の通りである。
脚注
- ^ 正多面体を解く. 東海大学出版会. (2002/5/20)
参考文献
- Felix, Klein (1884) (ドイツ語), Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, Teubner, https://archive.org/details/vorlesungenber00kleiuoft
- Klein, Felix (2003-02-20) [1888] (英語), Lectrues on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree (Dover Phoenix ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-49528-6, http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=03070001 - 英訳。
- 関口次郎 訳『正20面体と5次方程式』シュプリンガー・フェアラーク東京、1997年4月21日、317頁。ISBN 978-4-431-70692-2。 - 日本語訳。
- 関口次郎・前田博信 訳『正20面体と5次方程式』（改訂新版）丸善出版、2012年8月25日、357頁。ISBN 978-4-621-06364-4。 - 日本語訳の改訂新版。数学者スロードウィーによる解説・注釈を収録。
関連項目
外部リンク
- 『正二十面体の対角線・体積・内接球などを座標で計算』 - 高校数学の美しい物語
- Weisstein, Eric W. "Icosahedron". mathworld.wolfram.com (英語).
- Weisstein, Eric W. "Regular Icosahedron". mathworld.wolfram.com (英語).
- Weisstein, Eric W. "Icosahedral Graph". mathworld.wolfram.com (英語).
- Weisstein, Eric W. "Icosahedral Group". mathworld.wolfram.com (英語).
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