Нулевая матрица | это... Что такое Нулевая матрица? (original) (raw)
Нулева́я ма́трица — это матрица, размера все элементы которой равны нулю.
Признаки
Нулевая матрица, и только она, имеет ранг 0.
Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения на вектор-строки слева.
Другим следствием этого факта является нулёвость всех матриц размера m×0 и 0×n, вследствие того, что ранг матрицы m×n не превосходит min(m, n).
Свойства
- Произведение нулевой матрицы на любое число равно ей самой:
- Квадратная нулевая матрица является cимметричной, и, как следствие, её транспонированная матрица равна ей самой:
- Квадратная нулевая матрица является также косоcимметричной:
Только нулевая матрица является одновременно и cимметричной, и косоcимметричной.
- Последние два пункта дословно верны и в отношении эрмитовости и косоэрмитовости над полем комплексных чисел.
- Квадратная нулевая матрица является верхнетреугольной, нижнетреугольной и диагональной матрицей.
- Квадратная нулевая матрица является скалярной матрицей, и, следовательно, перестановочна с любой квадратной матрицей того же размера:
.
Все вышеизложенные свойства нулевой матрицы являются, так или иначе, следствием того обстоятельства, что нулевая матрица является аддитивным нейтральным элементом (в просторечии: нулём) линейного пространства матриц своего размера, а значит она (и только она) принадлежит любому линейному подпространству. Ну заодно и нулём алгебры матриц, если матрица квадратная.
Несмотря на это, нулевая матрица имеет и нетривиальные свойство, касающееся ненулевых делителей. Вообще-то их сколько угодно, хоть справа, хоть слева, но точное определение «скольких угодно» зависит от того, в пространстве матриц какого размера мы будем их искать. Па́ры ненулевых матриц M размера m×l и N размера l×n таких, что существуют тогда и только тогда, когда . Для существования l=0 недостаточно уже по той причине, что среди матриц размером как m×0, так и 0×n, ненулевых нет вообще (см. выше). А для объяснения несуществования делителей с l=1 см. статью тензорное произведение. Таким образом, в полем имеются делители нуля тогда и только тогда, когда . Что, впрочем, неудивительно, если посмотреть, как устроены такие алгебры при n=1 и n=0.
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.Эта отметка установлена 14 мая 2011. |
---|