Остаток от деления | это... Что такое Остаток от деления? (original) (raw)

Остаток от деления в арифметике — один из результатов операции деления с остатком. Образуется, если результат деления не может быть выражен целым числом, при этом остаток от деления должен быть по абсолютной величине меньше делителя. В случае, если числа делятся друг на друга без остатка, или нацело, то считают, что остаток равен нулю. Термин применяется также при делении многочленов.

Натуральные числа

Остатком называется неотрицательное число, которое в сумме с произведением неполного частного и делителя даёт делимое. То есть,

если $a,b\in \mathbb{N}, b\ne 0$ , то ~a = p b+q , где $0\leqslant q<b$ , то есть при делении на даёт (неполное) частное и остаток .

Остаток от деления a на b можно явно выразить через функцию «пол»:

$q = a - \lfloor a/b \rfloor\cdot b.$

Примеры

При делении 7 на 2, неполным частным является 3, а остатком 1 (формально , остаток 1), так как
При делении 56 на 7, частным является 8, а остатком 0 (формально , остаток 0), так как
При делении 13 на 10, неполным частным является 1, а остатком 3 (формально , остаток 3), так как

Обобщения

Целые числа

Формула

$q = a - \lfloor a/b \rfloor\cdot b$

даёт обобщение понятия остатка на случай деления целого числа a на целое число b. При этом выполняется соотношение a = p b+q и неравенство $0\leqslant q<|b|$ .

Вещественные числа

Если два числа и (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, может быть поделено на без остатка, при этом частное является также вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.