Радиус сходимости | это... Что такое Радиус сходимости? (original) (raw)

Радиус сходимости

Круг сходимости степенного ряда

$\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$

— круг вида

D = {z: | z − _z_0 | < R}, $z\in\mathbb C$ ,

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при | z − _z_0 | > R, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в пустое множество, когда R = 0, и может совпадать со всей плоскостью переменного z, когда $R = \infty$ .

Радиус сходимости

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

${1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, |a_n|^{1/n}$

Эта формула выводится на основе признака Коши.

Теорема Адамара

Основная статья: :en:Ostrowski-Hadamard gap theorem‎

Для степенного ряда

$f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k$ ,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов a k(i) удовлетворяет

$\lim_{i\to\infty} \frac{k(i+1)}{k(i)} > 1 + \delta \,$

для некоторого фиксированного δ > 0, круг с центром _z_0 и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

См. также

Аналитическое продолжение

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Радиус сходимости" в других словарях:

Радиус сходимости — радиус круга сходимости степенного ряда (см. Круг сходимости), т. е. такое число r, что степенной ряд z| < r и расходится при |z|> г … Большая советская энциклопедия
Круг сходимости — Основная статья: Степенной ряд Круг сходимости степенного ряда круг вида , , в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при , расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Радиус… … Википедия
КРУГ СХОДИМОСТИ — степенного ряда круг вида в к ром ряд (1) абсолютно сходится, а вне его, при расходится. Иными словами, К. с. есть внутренность множества точек сходимости ряда (1). Радиус RК. с. наз. радиусом сходимости ряда (1). К. с. может вырождаться в точку… … Математическая энциклопедия
предел сходимости — радиус сходимости — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы радиус сходимости EN convergence limit … Справочник технического переводчика
Формула Коши-Адамара — Основная статья: Степенной ряд Круг сходимости степенного ряда круг вида D = {z: | z − z0 | < R}, , в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при | z − z0 | > R, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть… … Википедия
Формула Коши — Адамара — Основная статья: Степенной ряд Круг сходимости степенного ряда круг вида D = {z: | z − z0 | < R}, , в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при | z − z0 | > R, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть… … Википедия
СТЕПЕННОЙ РЯД — 1)С. р. по одному комплексному переменному z функциональный ряд вида где a центр ряда, bk его коэффициенты, bk(z a)k члены ряда. Существует число r, называемое радиусом сходимости С. р. (1) и определяемое по формуле Коши Адамара такое, что при |z … Математическая энциклопедия
ОСОБАЯ ТОЧКА — 1) О. т. аналитической функции f(z) препятствие для аналитического продолжения элемента функции f(z) комплексного переменного zвдоль какого либо пути на плоскости этого переменного. Пусть аналитическая функция f(z) определена некоторым… … Математическая энциклопедия
Аналитическое продолжение — В комплексном анализе аналитическим продолжением функции , определённой на множестве , называется аналитическая функция, которая: определена на более широком множестве , содержащем ; в области совпадает с исходной функцией . Автором данного… … Википедия
Тейлора ряд — Степенной ряд вида , (1) где f (x) функция, имеющая при х = а производные всех порядков. Во многих практически важных случаях этот ряд сходится к f (x) на некотором интервале с центром в точке а: … Большая советская энциклопедия