Радикальный признак Коши | это... Что такое Радикальный признак Коши? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Признак Коши.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда

$\sum_{n=1}^\infty a_n$

с неотрицательными членами существует такое число , 0<d<1 , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство $\sqrt[n]{a_n}<d$ , то данный ряд сходится.

Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1$

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Доказательство

1. Пусть l < 1 . Очевидно, что существует такое $\varepsilon > 0$ , что $l + \varepsilon < 1$ . Поскольку существует предел $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l$ , то подставив в определение предела выбранное $\varepsilon$ получим:

$\vert \sqrt[n]{a_n} - l \vert < \varepsilon$

Раскрыв модуль, получаем:

$- \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} - l < \varepsilon$

$l - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} < l + \varepsilon$

$(l - \varepsilon)^n < a_n < (l + \varepsilon)^n$

Поскольку $l + \varepsilon < 1$ , то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} (l + \varepsilon)^n$ сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ тоже сходится.

2. Пусть l > 1 . Очевидно, что существует такое $\varepsilon > 0$ , что $l - \varepsilon > 1$ . Поскольку существует предел $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l$ , то подставив в определение предела выбранное $\varepsilon$ получим:

$\vert \sqrt[n]{a_n} - l \vert < \varepsilon$

Раскрыв модуль, получаем:

$- \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} - l < \varepsilon$

$l - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} < l + \varepsilon$

$(l - \varepsilon)^n < a_n < (l + \varepsilon)^n$

Поскольку $l - \varepsilon > 1$ , то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} (l - \varepsilon)^n$ расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ тоже расходится.

Примеры

1. Ряд

$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}$

сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}$

2. Рассмотрим ряд

$\sum_{n=1}^\infty {\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}^{n(n-1)}$

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} {\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}^{n-1} = \lim_{n \to \infty} {\left(1 - \frac{2}{n+1}\right)}^{n-1} = e^{-2} < 1 \Rightarrow$ ряд сходится.

См. также

Признак Жамэ

Признаки сходимости рядов
Для знакоположительныхрядов	Необходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак	$\sum^\infty_{n=1}a_n$
Для знакочередующихсярядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum^\infty_{n=1}a_n b_n$	Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса
Для рядов Фурье	Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича