Ортогональная матрица | это... Что такое Ортогональная матрица? (original) (raw)

Ортогональная матрица

Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на AT равен единичной матрице:[1]

$AA^{T} = A^{T}A = E,$

или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:

$\! A^{-1} = A^{T}.$

Свойства

Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

$\! \sum_{i} A_{ij} A_{ik}=\delta_{jk}$

$\! \sum_{i} A_{ji} A_{ki}=\delta_{jk}$

где $i\in \{1,\;\ldots,\;n\}$ , n — порядок матрицы, а $\delta_{jk}$ — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

$(\pm 1)$ и $\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}.$

Примеры

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ — единичная матрица
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0.96 & -0.28 \\ 0.28 & \;\;\,0.96 \\ \end{pmatrix}$ — пример матрицы поворота
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ — пример перестановочной матрицы

См. также

Примечания

↑ Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Линейная алгебра. 4-е изд. М: Наука, 1999. Стр. 158. ISBN 5-02-015235-8.

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Ортогональная матрица" в других словарях:

ортогональная матрица — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN orthogonal matrix … Справочник технического переводчика
ортогональная матрица — ortogonalioji matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. orthogonal matrix vok. orthogonale Matrix, f rus. ортогональная матрица, f pranc. matrice orthogonale, f … Fizikos terminų žodynas
ОРТОГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА — матрица над коммутативным кольцом R с единицей 1, для к рой транспонированная матрица совпадает с обратной. Определитель О. м. равен +1. Совокупность всех О. м. порядка пнад Rобразует подгруппу полной линейной группы GLn (R). Для любой… … Математическая энциклопедия
Ортогональная матрица — порядка n Матрица произведение которой на транспонированную матрицу А даёт единичную матрицу, то есть АА = Е (а следовательно, и A A = Е). Элементы О. м. удовлетворяют соотношениям: (i, j = 1, 2, ..., n; … Большая советская энциклопедия
Матрица поворота — Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения … Википедия
Матрица (в математике) — Матрица в математике, система элементов aij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m n) матрице.… … Большая советская энциклопедия
Ортогональная группа — Группа (математика) Теория групп … Википедия
Матрица линейного оператора — Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия
Матрица — I Матрица (нем. Matrize, от латинского matrix матка, источник, начало) в полиграфии, 1) сменный элемент литейной формы с углублённым (иногда фотографическим) изображением буквы или знака, используемый при отливке типографских… … Большая советская энциклопедия
ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА — группа всех линейных преобразований n мерного векторного пространства Vнад полем k, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму Q на V(т. е. таких линейных преобразований j, что Q(jn(v))=Q(v) для любого ). О. г. принадлежит к числу … Математическая энциклопедия