Единичная матрица | это... Что такое Единичная матрица? (original) (raw)

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Определение

Квадратная матрица $E_n=(e_{ij})$ размера (порядка ), где $e_{ii}=1$ для всякого $i\in\overline{1,n}$ , и $e_{ij}=0$ для всяких $i\ne j$ , называется единичной матрицей порядка .

Единичную матрицу можно определить как матрицу $(e_{ij})$ , у которой $e_{ij}=\delta_{ij}$ , где $\delta_{ij}$ - символ Кронекера.

Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.

Обозначение

Единичная матрица размера $n\times n$ обычно обозначается E_n и имеет вид:

$E_n=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 1 \end{bmatrix},$

Так же используется и другое обозначение: I_n .

Если из контекста ясно, какого размера матрица, то нижний индекс (указывающий порядок) опускается: , .

Свойства

Произведение любой матрицы и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице:

A E = E A = A

Квадратная матрица в нулевой степени дает единичную матрицу того же размера:

A^0 = E

При умножении матрицы на обратную ей тоже получается единичная матрица:

$\! A A^{-1} = E$

Единичная матрица получается при умножении ортогональной матрицы на её транспонированную матрицу:

A A^T = E

Определитель единичной матрицы равен единице:

$\mathrm{det}\,E=1$ .

Примеры

Единичные матрицы первых порядков имеют вид

$E_1 = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} ,\ E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Замечание

Если взять две матрицы —: матрицу и единичную — то, приведением матрицы к единичной методом Гаусса, можно добиться одновременного приведения матрицы к матрице $A^{-1}$ .

Литература

См. список литературы по линейной алгебре

См. также

Нулевая матрица