Ортогональное преобразование | это... Что такое Ортогональное преобразование? (original) (raw)

Ортогональное преобразование — линейное преобразование \,A евклидова пространства \,L, сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов x,y \in L выполняется равенство

\langle A(x),\,A(y) \rangle = \langle x,\,y \rangle,

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение \langle x,\,y \rangle в пространстве \,L.

Свойства

где \,A^* — сопряжённое, а \,A^{-1} — обратное преобразования.

Размерность два

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол \varphi, и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид

\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}.

Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

\begin{pmatrix}\ \cos\varphi& \ \ \sin\varphi\\ \sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}.

Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

\begin{pmatrix} 1&\ \ 0\\ 0&-1\end{pmatrix},

то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:

\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi& \sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&\ \ 0\\ 0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\ \cos\varphi& \ \ \sin\varphi\\ \sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}.

Размерность 3

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.

Размерность n

Имеет место следующая общая теорема:

В терминах матрицы преобразования эту теорему можно сформулировать следующим образом:

Такая запись матрицы \,A ортогонального преобразования иногда называется приведением к каноническому виду.

См. также

Литература