Односторонний предел | это... Что такое Односторонний предел? (original) (raw)

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Определения

Пусть на некотором числовом множестве $M \in \R$ задана числовая функция $f \colon M \to \R$ и число — предельная точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции $~f \left( x \right)$ в точке , но все они эквивалентны.

Односторонний предел по Гейне

Число $A \in \R$ называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции $~f \left( x \right)$ в точке , если для всякой последовательности $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ сходится к числу .
$\lim_{x \to a+} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \left( \forall k \in \N \colon x_k > a \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} = A$
Число $A \in \R$ называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции $~f \left( x \right)$ в точке , если для всякой последовательности $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ сходится к числу .[1]
$\lim_{x \to a-} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \left( \forall k \in \N \colon x_k < a \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} = A$

Односторонний предел по Коши

Односторонний предел как предел вдоль фильтра

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть $M \subset \mathbb{R},$ и $a \in M'.$ Тогда системы множеств

$\mathfrak{B}_+ = \{ (a, a + \delta) \cap M \mid \delta > 0 \}$

$\mathfrak{B}_- = \{ (a - \delta, a) \cap M \mid \delta > 0 \}$

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

$\lim\limits_{\mathfrak{B}_+} f(x) \equiv \lim\limits_{x\to a+}f(x);$

$\lim\limits_{\mathfrak{B}_-} f(x) \equiv \lim\limits_{x\to a-}f(x).$

Обозначения

Свойства

Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.[1]

Примеры

Функция из второго примера

См. также

Предел функции

Примечания

↑ 1 2 3 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7