Формула обращения Мебиуса | это... Что такое Формула обращения Мебиуса? (original) (raw)
Формула обращения Мебиуса
Формула обращения Мебиуса
Функция Мёбиуса μ(n) — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 г.
Содержание
Определение
μ(n) определена для всех натуральных чисел n и принимает значения в зависимости от характера разложения числа n на простые сомножители:
- μ(n) = 1 если n свободно от квадратов (т.е. не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение n на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
- μ(n) = − 1 если n свободно от квадратов и разложение n на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
- μ(n) = 0 если n не свободно от квадратов.
По определению также полагают μ(1) = 1.
Свойства и приложения
Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел a и b выполняется равенство μ(a b) = μ(a)μ(b).
Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю
Отсюда, в частности, следует, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств состоящих из нечётного числа элементов равно количеству различных подмножеств состоящих из чётного числа элементов — факт, применяемый в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.
Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса отношением
Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана, см. статью гипотеза Мертенса.
Обращение Мёбиуса
Первая формула обращения Мёбиуса
Для арифметических функций f и g,
тогда и только тогда, когда
.
Вторая формула обращения Мёбиуса
Для вещественнозначных функций f(x) и g(x), определеных при ,
тогда и только тогда, когда
.
Здесь сумма интерпретируется как .
Wikimedia Foundation.2010.
Полезное
Смотреть что такое "Формула обращения Мебиуса" в других словарях:
- Формулы обращения Мебиуса — Функция Мёбиуса μ(n) мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 г. Содержание 1 Определение 2 Свойства и приложения … Википедия
- Обращение Мебиуса — Функция Мёбиуса μ(n) мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 г. Содержание 1 Определение 2 Свойства и приложения … Википедия
- Функция Мебиуса — Функция Мёбиуса μ(n) мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 г. Содержание 1 Определение 2 Свойства и приложения … Википедия