Дзета-функция Римана | это... Что такое Дзета-функция Римана? (original) (raw)

Запрос «Дзета-функция» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Качественный график дзета-функции Римана на действительной оси. Слева от нуля значения функции увеличены в 100 раз для наглядности.

Дзета-функция Римана или дзета-функция Эйлера-Римана[_источник?_] $\displaystyle \zeta(s)$ определяется с помощью ряда Дирихле:

$\zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots,$

где $\displaystyle s \in \mathbb{C}$ .

В области $\left\{ s\mid\operatorname{Re}\,s > 1\right\}$ , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы.

Тождество Эйлера

В исходной области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

$\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}}$ ,

где произведение берётся по всем простым числам $\displaystyle p$ .

Почему это так

Идея доказательства использует лишь простую алгебру, доступную прилежному школьнику. Изначально этим способом Эйлер вывел формулу. Есть свойство решета Эратосфена, из которого мы можем извлечь пользу:

$\zeta(s) = 1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+ \ldots$

$\frac{1}{2^s}\zeta(s) = \frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+\frac{1}{10^s}+ \ldots$

Вычитая второе из первого, мы удаляем все элементы с делителем 2:

$\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+ \ldots$

Повторяем для следующего:

$\frac{1}{3^s}\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = \frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\frac{1}{21^s}+\frac{1}{27^s}+\frac{1}{33^s}+ \ldots$

Опять вычитаем, получаем:

$\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\frac{1}{17^s}+ \ldots$

где удалены все элементы с делителями 2 и/или 3.

Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето. Бесконечно повторяя, получаем:

$\ldots \left(1-\frac{1}{11^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1$

Поделим обе стороны на всё, кроме $\zeta(s)$ , получим:

$\zeta(s) = \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{11^s}\right) \ldots }$

Можно записать короче как бесконечное произведение по всем простым p:

$\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}}$

Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда $\quad \Re(s)>1$ , просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для $\zeta(s)$ .

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства

Дзета-функции Римана в комплексной плоскости

Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
, где — число Бернулли.
- В частности, $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6},\ \ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ .
Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Также доказано, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы одно иррациональное.[1]
При $\operatorname{Re}\,s> 1$
$\displaystyle \zeta(s)$ имеет в точке $\displaystyle s=1$ простой полюс с вычетом, равным 1.
Дзета-функция при $\displaystyle s\ne 0, s\ne 1$ удовлетворяет уравнению:
$\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$ ,

где $\displaystyle \Gamma(z)$ — Гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.

Для функции
$\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)$ ,

введенной Риманом для исследования $\displaystyle \zeta(s)$ и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид

$\displaystyle \ \xi(s)=\xi(1-s)$ .

Нули дзета-функции

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости $\operatorname{Re}\,s < 0$ , функция $\zeta(s)$ имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: $0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots$ . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, $\zeta(s) \neq 0$ при вещественных $s \in (0,1)$ . Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали $\operatorname{Re}\,s = \frac 1 2$ и лежат в полосе $0 \leqslant \operatorname{Re}\,s \leqslant 1$ , которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой $\operatorname{Re}\,s = \frac 1 2$ .

Обобщения

Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

Дзета-функция Гурвица:
$\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s},$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

Полилогарифм:
$\mathrm{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s},$

который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.

Дзета-функция Лерха:
$\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty \frac { z^k} {(k+q)^s},$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

Квантовый аналог (_q_-аналог).

История

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышевым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной.

Ссылки

Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Примечания

↑ В. В. Зудилин Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках // УМН. — 2001. — Т. 56. — № 2(338). — С. 215–216.