Вписанная окружность | это... Что такое Вписанная окружность? (original) (raw)

Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

В многоугольнике

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру

$r=\frac{S}{p}$

В треугольнике

Свойства вписанной окружности:

В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
Центр O вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен

$r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$

Если AB — основание равнобедренного $\triangle ABC$ , то окружность, касающаяся сторон $\angle ACB$ в точках A и B, проходит через точку О.
Формула Эйлера: , где — радиус описанной вокруг треугольника окружности, — радиус вписанной в него окружности, O — центр описанной окружности, I — центр вписанной окружности.
Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне AB, пересекает стороны BC и CA в точках A1 и B1, то .
Точки касания вписанной в треугольник T окружности соединены отрезками — получается треугольник T1
- биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T1
- Пусть T2 — ортотреугольник T1. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
- Пусть T3 — серединный треугольник T1. Тогда биссектрисы T являются высотами T3.
- Пусть T4 — ортотреугольник T3, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T4.
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен $\frac{a+b-c}{2}$ .
Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны равно $d=\frac{a+b-c}{2}=p-c$ .
Расстояние от вершины C до центра вписаной окружности равно $l_c=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}$ , где r — радиус вписаной окружности, а γ — угол вершины C.
Расстояние от вершины C до центра вписаной окружности может так же быть найдено по формуле $l_c = \sqrt{(p-c)^2 + r^2}$
Теорема о трезубце или о трилистнике: Если — точка пересечения биссектрисы угла с описанной окружностью, а — центр вписанной окружности, то .
Лемма Вертера[источник не указан 385 дней]: пусть окружность касается сторон , и дуги описанной окружности треугольника . Тогда точки касания окружности со сторонами и центр вписанной окружности треугольника лежат на одной прямой. Это утверждение — частный случай леммы Накаямы [источник не указан 385 дней].

В четырёхугольнике

Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.

В выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD .

Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения противоположных сторон четырёхугольника. Эта прямая называется прямой Гаусса. Центр вписанной в четырёхугольник окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

В сферическом треугольнике

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

Тангенс радиуса[1] вписанной в сферический треугольник окружности равен[2]:73-74

$\operatorname{tg}r=\sqrt{\frac{\sin (p-a)\sin (p-b)\sin (p-c)}{\sin p}}\,$

Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника[2]:20-21.

См. также

Примечания

↑ Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и точку касания окружностью стороны треугольника.
↑ 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Литература

Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0