Билинейная форма | это... Что такое Билинейная форма? (original) (raw)

Пусть \,L есть векторное пространство над полем \,K (чаще всего рассматриваются поля K=\mathbb R и K=\mathbb C).

Билинейной формой называется функция F\colon L\times L\to K, линейная по каждому из аргументов:

~F(x+z, y)=F(x,y)+F(z,y),

~F(x, y+z)=F(x,y)+F(x,z),

~F(\lambda x, y)=\lambda F(x,y),

~F(x, \lambda y)=\lambda F(x,y),

здесь x,y,z \in L и \lambda \in K.

Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (2,0)).

Содержание

Связанные определения

Свойства

\begin{pmatrix} F(e_1, e_1) & F(e_1, e_2) & \ldots & F(e_1, e_n) \\ F(e_2, e_1) & F(e_2, e_2) & \ldots & F(e_2, e_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ F(e_n, e_1) & F(e_n, e_2) & \ldots & F(e_n, e_n) \end{pmatrix},

так что для любых векторов x=x^1 e_1+x^2 e_2+\cdots+x^n e_n и y=y^1 e_1+y^2 e_2+\cdots+y^n e_n

F(x,y)=\begin{pmatrix} x^1 & x^2 & \ldots & x^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F(e_1, e_1) & F(e_1, e_2) & \ldots & F(e_1, e_n) \\ F(e_2, e_1) & F(e_2, e_2) & \ldots & F(e_2, e_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ F(e_n, e_1) & F(e_n, e_2) & \ldots & F(e_n, e_n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y^1 \\ y^2 \\ \vdots \\ y^n \end{pmatrix},

то есть

F(x,y) = \sum_{i,j=1}^n f_{ij}\, x^i y^j, \ \quad f_{ij} = F(e_i, e_j).

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе ~X^i выражаются через координаты в новом ~x^i через матрицу ~\beta ~X^i = \sum \beta^i_j x^j, или в матричной записи ~X = \beta x, то билинейная форма ~F на любых векторах ~x и ~y запишется, как

F(x,y) = \sum_{i,j} F_{ij} X^i Y^j = \sum_{i,j,k,m} F_{ij} \beta^i_k \beta^j_m x^k y^m,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

f_{km} = \sum_{i,j} F_{ij} \beta^i_k \beta^j_m,

или, в матричной записи:

~f = \beta^T F \beta,

~\beta = \alpha^{-1}, где ~\alpha — матрица прямого преобразования координат ~x = \alpha X.

См. также

Литература