Алгебра (теория множеств) | это... Что такое Алгебра (теория множеств)? (original) (raw)
Алгебра (теория множеств)
Алгебра (теория множеств)
Алгебра (теория множеств)
Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).
Определение
Семейство подмножеств множества X называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:
- содержит пустое множество .
- Если , то и его дополнение
- Объединение двух множеств также принадлежит
Замечания
- В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
- Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
- Если исходное множество X является пространством элементарных событий, то алгебра называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.
Алгебра событий
Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий , элементами которого служат элементарные события.
Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.
В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:
Алгебры и сигма-алгебры событий — это области определения вероятности . Если , то событие называется невозможным событием; если , то событие называется достоверным событием;
Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.
См. также
- Сигма-алгебра
- Кольцо
- Полукольцо
- Аксиоматика Колмогорова
- Элементарное событие
- Событие (теория вероятностей)
- Вероятностное пространство
Литература
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
Wikimedia Foundation.2010.
Полезное
Смотреть что такое "Алгебра (теория множеств)" в других словарях:
- Теория множеств — Теория множеств раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой… … Википедия
- ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — теория, в к рой изучаются множества (классы) элементов произвольной природы. Созданная прежде всего трудами Кантора (а также Р. Дедекинда и К. Вейерштрасса), Т. м. к концу 19 в. стала основой построения сложившихся к тому времени математич.… … Философская энциклопедия
- Наивная теория множеств — Теория множеств раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… … Википедия
- Описательная теория множеств — Теория множеств раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… … Википедия
- Кольцо (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо. В теории множеств кольцом называют непустую систему множеств R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов… … Википедия
- Полукольцо (теория множеств) — Полукольцо (в теории множеств) система множеств S, для которой выполнены следующие условия: ; ; . Таким образом, полукольцо содержит в себе пустое множество, замкнуто относительно пересечения … Википедия
- Проекция (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Проекция. Проекцией в теории множеств называют одну из двух практически не связанных функций или операций, а именно: Операцию в теории множеств, обозначаемую , выделяющую й компонент элемента… … Википедия
- Решётка (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Решётка. Решётка (ранее использовался термин структура) частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю… … Википедия
- Теория моделей — Теория моделей раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория … Википедия
- РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — раздел тео рии рекурсивных функций, в к ром рассматриваются и классифицируются подмножества натуральных чисел с алгоритмич. точки зрения, а также исследуются структуры, возникающие в результате такой классификации. Для каждого множества А, к рое… … Математическая энциклопедия