Факторпространство | это... Что такое Факторпространство? (original) (raw)

Пусть на множестве задано отношение эквивалентности $\sim$ . Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством и обозначается $X/\!\sim$ . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Отображение из в множество классов эквивалентности $X/\!\sim$ называется фактор-отображением.

Факторпространство по подпространству

Часто отношение эквивалентности вводят следующим образом. Пусть — линейное пространство, а — некоторое линейное подпространство. Тогда два элемента $x,\;y\in X$ таких, что $x-y\in L$ , называются эквивалентными. Это обозначается $x\,\overset{L}{\sim}\,y$ . Получаемое в результате факторизации пространство $X/\,\overset{L}{\sim}$ называют факторпространством по подпространству . Если разлагается в прямую сумму $X=L\oplus M$ , то существует изоморфизм из в $X/\,\overset{L}{\sim}$ . Если — конечномерное пространство, то факторпространство $X/\,\overset{L}{\sim}$ также является конечномерным и $\dim X/\,\overset{L}{\sim}=\dim X-\dim L$ .

Примеры

Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.

Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.

Примеры

См. также

Факторгруппа