Прямая сумма | это... Что такое Прямая сумма? (original) (raw)

Символ $\oplus \!$ означает взятие прямой суммы; это также символ Земли в астрономии и астрологии и символ операции исключающее «или».

Прямая сумма — производный математический объект, создаваемый по определённым ниже правилам из базовых объектов. В качестве базовых чаще всего выступают векторные пространства или абелевы группы. Существует также обобщение данной конструкции для банаховых и гильбертовых пространств.

Прямая сумма подпространств

Говорят, что линейное пространство есть прямая сумма своих подпространств $M_1,\dots,M_n$ :

$X = M_1 \oplus\dots\oplus M_n,$

если каждый вектор $x\in X$ представляется в виде суммы

$x=m_1+\dots+m_n, \quad m_i\in M_i, \quad (*)$

и притом единственным образом.

Комментарий

Последнее условие («единственным образом») весьма существенно, без него получается просто определение суммы подпространств (обозначается $X = M_1 +\dots+ M_n$ ). Из определения линейного пространства следует, что условие единственности разложения (*) для каждого вектора $x\in X$ равносильно условию единственности разложения (*) только для нулевого вектора (для x=0 в сумме (*) все слагаемые m_i=0 ).

Критерии прямой суммы

Примеры

Прямая сумма пространств

Понятие прямой суммы $X = M_1 \oplus\dots\oplus M_n$ распространяется на случай, когда $M_1,\dots,M_n$ изначально не являются подпространствами какого-либо одного объемлющего линейного пространства.

Определим как декартово произведение $X = M_1 \times \dots \times M_n$ и определим в нём операции линейного пространства с помощью формул

$(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n) = (x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n), \quad \alpha (x_1,\ldots,x_n) = (\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n), \quad x_i,y_i \in M_i.$

Тогда является линейным пространством, содержащим подпространства $M_1,\dots,M_n.$ Согласно построению, каждый вектор $x\in X$ однозначно представим в виде $x=m_1+\dots+m_n,$ $m_i\in M_i,$ следовательно, $X = M_1 \oplus\dots\oplus M_n.$

Прямая сумма абелевых групп

Говорят, что абелева группа есть прямая сумма своих подгрупп $H_1,\dots,H_n$ :

$G = H_1 \oplus\dots\oplus H_n,$

если каждый элемент $g\in G$ представляется в виде суммы

$g=h_1+\dots+h_n, \quad h_i\in H_i, \quad (*)$

и притом единственным образом. Условие единственности разложения (*) для каждого элемента $g\in G$ равносильно условию единственности разложения (*) только для нулевого элемента $\,g=0$ .

Пусть $H_1, \ldots, H_n$ — абелевы группы (с операцией $+\,$ ). Определим множество как декартово произведение $X = H_1 \times \dots \times H_n$ и определим в нём групповую операцию с помощью формулы

$(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n) = (x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n), \quad x_i,y_i \in H_i.$

Тогда является абелевой группой, содержащей подгруппы $H_1,\dots, H_n.$ Это обозначается: $X = H_1 \oplus\dots\oplus H_n.$ Согласно построению, каждый элемент $g\in X$ однозначно представим в виде (*). Противоположным (обратным) элементом к $g \in X$ является элемент $-g=(-h_1)+\dots+(-h_n).$ Нейтральным (нулевым) элементом группы является элемент $0=0_1+\dots+0_n,$ где $0_i\,$ — нейтральный элемент группы $\,H_i.$

Если группы $H_1, \ldots, H_n$ конечные, то группа $G = H_1 \oplus\dots\oplus H_n,$ тоже конечная, и её порядок (число элементов) равно произведению порядков групп $H_1, \ldots, H_n$ .

См. также

Литература

Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, — М.: Наука, 1971.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре, — М.: Наука, 1984.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.