Формула Гаусса — Бонне | это... Что такое Формула Гаусса — Бонне? (original) (raw)

Формула Гаусса — Бонне

В дифференциальной геометрии формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Пусть M — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с границей $\partial M$ . Обозначим через K гауссову кривизну M и через k g геодезическую кривизну $\partial M$ . Тогда

$\int\limits_M K\;dA+\int\limits_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M),$

где χ(M) — эйлерова характеристика M.

В частности, если у M нет границы, получаем

$\int\limits_M K\;dA=2\pi\chi(M)$

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

Вариации и обобщения

Эта формула допускает обобщения на старшие размерности, см. обобщённая формула Гаусса — Бонне.

См. также

Формула Гаусса

Ссылки

С.Е. Степанов , Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, No 9, с. 116–121.

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Формула Гаусса — Бонне" в других словарях:

Формула Гаусса — В дифференциальной геометрии формула Гаусса Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы. Пусть компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой … Википедия
Формула Гаусса-Бонне — В дифференциальной геометрии формула Гаусса Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы. Пусть M компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с границей .… … Википедия
Формула Гаусса—Бонне — В дифференциальной геометрии формула Гаусса Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы. Пусть M компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с границей .… … Википедия
Теорема Гаусса (значения) — Существует несколько утверждений, называемых теоремой Гаусса: Теорема Гаусса (закон Гаусса) в электростатике и электродинамике и общая формулировка ее формальной части Теорема Гаусса Остроградского в векторном анализе. Теорема Гаусса Ванцеля о… … Википедия
Теорема Бонне — может означать: Достаточное условие существования поверхности с данной первой и второй квадратичной формой, ― см. уравнения Петерсона ― Кодацци. Теорема Бонне о линейчатой поверхности. См.также Формула Гаусса Бонне … Википедия
Эйлерова характеристика — или характеристика Эйлера Пуанкаре характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства обычно обозначается . Содержание 1 Определения 2 Свойства … Википедия
Гаусс, Карл Фридрих — У этого термина существуют и другие значения, см. Гаусс. Карл Фридрих Гаусс Carl Friedrich Gauß … Википедия
К. Гаусс — Карл Фридрих Гаусс Carl Friedrich Gauß Дата рождения: 30 апреля 1777 Место рождения: Брауншвейг Дата смерти: 23 февраля 1855 Место смерти … Википедия
Карл Гаусс — Карл Фридрих Гаусс Carl Friedrich Gauß Дата рождения: 30 апреля 1777 Место рождения: Брауншвейг Дата смерти: 23 февраля 1855 Место смерти … Википедия
Карл Фридрих Гаусс — Carl Friedrich Gauß Дата рождения: 30 апреля 1777 Место рождения: Брауншвейг Дата смерти: 23 февраля 1855 Место смерти … Википедия