Компактное пространство | это... Что такое Компактное пространство? (original) (raw)

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, включающий

• Все пространства с конечным числом точек;
• Все замкнутые и ограниченные подмножества евклидова пространства.

В топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Связанные определения
• 3 Свойства
• 4 Примеры компактных множеств
• 5 История
• 6 Литература

Определение

Компа́ктное простра́нство — это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

Связанные определения

• Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
• Множество называется относительно компактным или предкомпактным, если его замыкание компактно.
• Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
• Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
• Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
• Термин компакт иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства

• Общие свойства:
  • Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.
  • Замкнутое подмножество компакта компактно.
  • Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
  • Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения) компактно.
  • Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
  • В компактных пространствах каждое центрированное семейство замкнутых множеств, т.е. семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение. См. также Лемма о вложенных отрезках.
• Свойства компактных метрических пространств:

Примеры компактных множеств

История

Бикомпактное пространство — термин, введённый П. С. Александровым как усиление введённого М. Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. Задачный учебник по топологии
• Л.Шварц, Анализ, т. I, М., МИР, 1972.