Эйлерова характеристика | это... Что такое Эйлерова характеристика? (original) (raw)

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства обычно обозначается $\chi(X)$ .

Содержание

1 Определения
2 Свойства
- 2.1 Эйлерова характеристика полиэдров
- 2.2 Теорема Гаусса — Бонне
3 Ориентированные и неориентированные поверхности
4 Величина эйлеровой характеристики
5 История
6 Примечания
7 Литература
8 См. также

Определения

Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма
$\chi=k_0-k_1+k_2-...,$

где k_i обозначает число клеток размерности .

Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.

Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Свойства

Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
- В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.

Эйлерова характеристика полиэдров

Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Теорема Гаусса — Бонне

Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности) без границы существует формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику $\chi(S)$ с гауссовой кривизной многообразия:

$\int\limits_S K\;d\sigma = 2\pi\chi(S),$

где $d\sigma$ — элемент площади поверхности .

Существует обобщение формулы Гаусса-Бонне для двумерного многообразия с краем.
Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное римановых многообразий многообразия известная, как Теорема Гаусса — Бонне — Черна или Обобщённая формула Гаусса — Бонне.
Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра, делённой на $2\pi$ .[1]
Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.

Ориентированные и неориентированные поверхности

Величина эйлеровой характеристики

Название	Вид	Эйлерова характеристика
Отрезок		1
Окружность		0
Круг		1
сфера		2
Тор(произведение двух окружностей)		0
Двойной тор		−2
Тройной тор		−4
Проективная поверхность		1
Лист Мёбиуса		0
Бутылка Клейна		0
Две сферы(несвязные)		2 + 2 = 4
Три сферы		2 + 2 + 2 = 6

История

В 1752 году Эйлер [2] опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде

~S+H=A+2,

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.

Ранее эта формула встречается в рукописях Р. Декарта, опубликованных в XVIII в.

В 1899 году Пуанкаре [3] обобщил эту формулу на случай _N_-мерного многогранника:

$\sum_{i=0}^{N-1}{(-1)}^i A_i =1+{(-1)}^{N-1},$

где A_i — количество _i_-мерных граней _N_-мерного многогранника.

Если формально считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:

$\sum_{i=0}^{N}{(-1)}^i A_i =1.$

Примечания

↑ Practical Polygonal Mesh Modeling with Discrete Gaussian-Bonnet Theorem
↑ L. Euler Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140–160, 1758. Представлено Санкт-Петербургской Академии 6 апреля 1752 года. Opera Omnia 1(26): 94–108.
- Перевод на английский язык: Leonhard Euler Proof of Some Notable Properties with wich Solids Enclosed by Plane Faces are Endowed. (Translated by Christopher Francese and David Richeson)
↑ H. Poincaré, Sur la généralisation d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144-145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.

Литература

Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.
Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).

См. также

Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера