Формула Муавра | это... Что такое Формула Муавра? (original) (raw)

Формула Муавра для комплексных чисел z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \ утверждает, что

z^n =r^n( \cos n\varphi + i \sin n\varphi )\

для любого n \in \mathbb{Z}.

Доказательство

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi \ и тождества для экспонент (e^{a})^{b} = e^{ab} \! , где b — целое число.[1]

Применение

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней _n_-ой степени из ненулевого комплексного числа:

z^{1/n}=[r(\cos (\varphi+2\pi k) +i\sin (\varphi+2\pi k))]^{1/n} = r^{1/n}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),

где k = 0, 1, …, _n_—1.

Из основной теоремы алгебры следует, что корни _n_-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного _n_-угольника, вписанного в окружность радиуса \sqrt[n]{r} с центром в нуле.

История

Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром.

См. также

Примечания