Корни из единицы | это... Что такое Корни из единицы? (original) (raw)

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена x^n-1 (n\geqslant 1). Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1.

Содержание

Представление

Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:

1=\cos\ 0 + i\ \sin\ 0

Тогда по формуле Муавра, получим:

u_k=\cos {\frac{2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1

Здесь u_k — корни из единицы.

Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:

u_k=e^{\frac{2\pi k i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1

Из этих формул вытекает, что корней из единицы всегда ровно n, и все они различны.

Свойства

Геометрические свойства

Алгебраические свойства

\sum_{k=0}^{n-1} u^k = \frac{u^n - 1}{u - 1} = 0 .

Примеры

Кубические корни из единицы

Кубические корни из единицы:

\left\{1;\ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2};\ \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}

Корни 4-й степени из единицы:

\left\{1;\ +i;\ -1;\ -i \right\}

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента:

\left\{e^{2 \pi i k\over 5}|k\in \{1,2,3,4\}\right\}=\left\{\left . \frac{u\sqrt 5-1}4+v\sqrt{\frac{5+u\sqrt 5}8}i \right |u,v \in \{-1,1\}\right\}.

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два:

\left\{ \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} .

Круговые поля

Круговое поле, или поле деления круга степени n (англ. Cyclotomic field) — это поле K_n = \mathbb {Q}(u), порождённое присоединением к полю рациональных чисел \mathbb {Q} первообразного корня _n_-й степени из единицы u. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни _n_-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.

Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: K_3 состоит из комплексных чисел вида a+b \sqrt{3}\ i, где a, b — рациональные числа.

Теорема Кронекера-Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

См. также

Литература