Симметрический многочлен | это... Что такое Симметрический многочлен? (original) (raw)

Симметрический многочлен

Симметри́ческий многочле́н — многочлен от n переменных F(x_1, x_2, ..., x_n) , не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных.

Примеры

Степенные суммы — суммы одинаковых степеней переменных, то есть $F(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^n x_i^\alpha$
Основные симметрические многочлены — многочлены вида

$\sigma_k(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{1\le j_1<j_2<\ldots <j_k\le n} x_{j_1} \cdots x_{j_k}$

определённые для $k = 1, 2 \ldots n$ , то есть такие:

$\begin{array}{lcr} \sigma_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=& x_1 + x_2 + \cdots + x_n \\ \sigma_2(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=& {x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + \cdots + {x_{n-1}}{x_n} \\ & \cdots & \\ \sigma_{n-1}(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=& {x_1}{x_2}\ldots{x_{n-1}} + {x_1}{x_2}\ldots{x_{n-2}}{x_n}+\cdots+{x_2}{x_3}\ldots{x_n}\\ \sigma_{n}(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=& {x_1}{x_2}\ldots{x_n}\\ \end{array}$

Основная теорема теории симметрических многочленов

Основная теорема теории симметрических многочленов гласит, что любой симметрический многочлен может быть представлен единственным образом в виде многочлена от основных симметрических многочленов.

См. также

Ссылки

З. Б. Райхштейн Тождества Ньютона и математическая индукция // Математическое просвещение. — 2000. — В. 4. — С. 204–205.

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Симметрический многочлен" в других словарях:

СИММЕТРИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН — многочлен f с коэффициентами из нек рого поля или ассоциативно коммутативного кольца Кс единицей, являющийся симметрической функцией от своих переменных, т. е. инвариантный при любых подстановках переменных: (*) С. м. образуют алгебру S( х 1 … Математическая энциклопедия
Многочлен — Запрос «Полином» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Многочлен (или полином) от n переменных это конечная формальная сумма вида , где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), число… … Википедия
Многочлен Лорана — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия
Двучлен — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия
Моном — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия
Полином — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия
Полиномиальная функция — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия
Полиномы — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия
Симметричность — может означать: Симметрия Симметричная операция (от нескольких операндов) Симметричная функция (от нескольких переменных) Симметрический многочлен в математической логике: Симметричное отношение в линейной алгебре: Симметричный тензор… … Википедия
Неравенство Мюрхеда — позволяет сравнивать значения некоторых симметрических многочленов на одном и том же наборе неотрицательных значений аргументов. Вводные определения Пусть упорядоченный набор целых неотрицательных чисел . Через будем обозначать с … Википедия