Символ Леви-Чивиты | это... Что такое Символ Леви-Чивиты? (original) (raw)

Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты. Обозначается $\varepsilon_{ijk}$ . Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов (см.ниже).

Другие названия:

Абсолютно антисимметричный единичный тензор
Полностью антисимметричный единичный тензор
Абсолютно кососимметричный объект
Тензор Леви-Чивиты (символ Леви-Чивиты является компонентной записью этого тензора).
Кососимметричный символ Кронекера (данный термин использовался в учебнике по тензорному исчислению Акивиса и Гольдберга)

Определение

Изображение символа Леви-Чивиты.

В трёхмерном пространстве, в правом ортонормированном базисе (или вообще в правом базисе с единичным определителем метрики) символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:

$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & P(i,j,k)=+1 \\ -1 & P(i,j,k)=-1 \\ 0 & i=j \bigvee j=k \bigvee k=i \end{cases}$

то есть для чётной перестановки P(i, j, k) равен 1 (для троек (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2)), для нечётной перестановки P(i, j, k) равен −1 (для троек (3,2,1), (1,3,2), (2,1,3)), а в остальных случаях равен нулю, при повторении. Для компонент $\ \varepsilon_{ijk}$ в левом базисе берутся противоположные числа.

Для общего случая (произвольных косоугольных координат) это определение обычно меняется на

$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +\sqrt{g} & P(i,j,k)=+1 \\ -\sqrt{g} & P(i,j,k)=-1 \\ 0 & i=j \bigvee j=k \bigvee k=i \end{cases}$

Для компонент $\ \varepsilon_{ijk}$ в левом базисе также берутся противоположные числа.

где $\ g$ — определитель матрицы метрического тензора $\ g_{ij}$ , представляющий квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базис.

Такой набор компонент $\varepsilon_{ijk}$ представляет тензор (точнее — псевдотензор).

При этом, конечно, $\varepsilon^{ijk}$ ,будет таким же, но с заменой $\ \sqrt{g}$ на $\ 1/\sqrt{g}$ .

$\varepsilon_{ijk}$ может определяться также как смешанное произведение векторов базиса, в котором символ применяется:

$\varepsilon_{ijk}=\left[\vec{e}_i\vec{e}_j\vec{e}_k\right]$ .

Это определение для любого, правого или левого базиса, так как разница знака для левых и правых базисов заключена в смешанном произведении. Абсолютная величина каждой ненулевой компоненты равна объему параллелепипеда, натянутого на базис $\ \{\vec {e_i}\}$ . Тензор, как и положено, антисимметричен по любой паре индексов. Определение эквивалентно приведенным выше.

Геометрический смысл

Как видно уже из определения через смешанное произведение, символ Леви-Чивиты связан с ориентированным объемом и ориентированной площадью, представленной как вектор.

В трехмерном (евклидовом) пространстве смешанное произведение трех векторов

$V = \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k$

— это ориентированный объём (псевдоскаляр, модуль которого равен объёму, а знак зависит от ориентации тройки векторов) параллелепипеда, натянутого на три вектора $\vec{a}$ , $\vec{b}$ и $\vec{c}$

Векторное произведение двух векторов

$S_i = \varepsilon_{ijk} a^j b^k$

— это ориентированная площадь параллелограмма, стороны которого — векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , представленная псевдовектором, длина которого равна площади, а направление — ортогонально к плоскости параллелограмма.

Этот смысл сохраняется для любой размерности пространства n, если, конечно, брать $\varepsilon$ с соответствующим количеством индексов, под объёмом понимать _n_-мерный объем, а под площадью — (_n_−1)-мерную (гипер-)площадь. При этом, естественно, в соответствующую формулу входит n и (_n_−1) векторов — сомножителей. Например, для 4-мерного (евклидова) пространства:

$V = \varepsilon_{ijkm} a^i b^j c^k d^m,$

$S_i = \varepsilon_{ijkm} a^j b^k c^m.$

Свойства

$\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$

В случае двух общих индексов $i,\;j$ , тензор сворачивается следующим образом:

$\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}$

(Везде здесь в случае ортонормированного базиса все индексы можно просто переписать как нижние.)

Обобщение на случай n измерений

Символ Леви-Чивиты может быть легко обобщён на любое количество измерений больше единицы, если пользоваться определением через чётность перестановок индексов:

То есть он равен знаку (signum) перестановки, умноженному на корень из определителя метрики $\ \sqrt{g} = \sqrt{det\{g_{ij}\}}$ в случае, когда индексы принимают значения, реализующие перестановку набора (1,2,3,…,n), а в остальных случаях ноль. (Как видим, количество индексов равно размерности пространства n).

Во всех размерностях, где символ Леви-Чивиты определён, он представляет тензор (имеется в виду главным образом то, что надо проследить за тем, чтобы количество индексов символа совпадало с размерностью пространства). Кроме того, как видно из написанного выше, какие-то трудности с обычным определением символа Леви-Чивиты могут быть в пространствах, где не определен метрический тензор, или, скажем, $\ det\{g_{ij}\} = 0$ или $\ det\{g^{ij}\} = 0$ .

Можно показать, что для n измерений выполняются свойства, аналогичные трёхмерным:

$\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon^{ijk\dots} = n!$

- что связано с тем, что существует n! перестановок набора (1,2,3,…,n), а следовательно столько же ненулевых компонент ε с n индексами.

$\varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon^{pqr\dots} = \det \begin{vmatrix} \delta_i^p & \delta_i^q & \delta_i^r & \dots \\ \delta_j^p & \delta_j^q & \delta_j^r & \dots \\ \delta_k^p & \delta_k^q & \delta_k^r & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{vmatrix}.$

После раскрытия определителя появляется множитель n! и производятся упрощения в соответствующих символах Кронекера.

Псевдоскалярное произведение двух векторов в двумерном пространстве:
${\vec a \vee \vec b} =\sum_{i,j=1}^2 \varepsilon_{ij} a^i b^j$
Определитель матрицы A размера n×n можно удобно записать с использованием _n_-мерного символа Леви-Чивиты
$det\ A \ = \sum_{i,j,k,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijk\ldots} A_{1i} A_{2j} A_{3k} \cdots = \sum_{i_1,i_2,i_3,\ldots,i_n=1}^n \varepsilon_{i_1 i_2 i_3 \cdots i_n} A_{1 i_1} A_{2 i_2} A_{3 i_3} \cdots A_{n i_n}$

что является по сути просто переписанным с помощью этого символа определением определителя (одним из самых распространенных). Здесь базис подразумевается стандартным, и ненулевые компоненты $\ \varepsilon_{ijk\ldots}$ принимают тут значения ±1.

прямое _n_-мерное обобщение векторного произведения (n - 1) штук (_n_-мерных) векторов:

$\vec{p} = {\vec a \times \vec b \times \vec c \cdots} = \sum_{i,j,k,m,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijkm\ldots} \vec f^i a^j b^k c^m \cdots$ ,

где $p_i = \sum_{j,k,m,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijkm\ldots} a^j b^k c^m \cdots$ - его компоненты, а $\vec{f}^{\ i}$ - базисные векторы. (Здесь для краткости записано выражение для ковариантных компонент и разложение в дуальном базисе).

прямое n_-мерное обобщение смешанного произведения n штук (n_-мерных) векторов:
![\left[\vec{a}\vec{b}\vec {c}\cdots\right] = \sum{i,j,k,\ldots=1}^n \varepsilon{ijk\ldots} a^i b^j c^k\cdots](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/76abb2af3c1d0996b217face3de99715.png)

Безындексная запись (для n измерений)

В безындексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется оператором дуальности, называемым звёздочка Ходжа, или просто оператор звездочка:

$(*\eta)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}}=\frac{1}{k!} \eta^{j_1,\ldots,j_k}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}}$

(для произвольного тензора $\! \eta,$ учитывая эйнштейновское правило суммирования).

См. также

Ссылки

Hermann R. (ed.), Ricci and Levi-Civita’s tensor analysis papers, (1975) Math Sci Press, Brookline (определение символа — см. стр. 31).
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (См. параграф 3.5 для обзора применения тензоров в общей теории относительности).
Русский перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация, (1977) Москва, «Мир» (См. по указателю — Леви-Чивиты тензор).
Димитриенко Ю.И., Тензорное исчисление, М.:Высшая школа, 2001, 575 с.