Псевдоскалярное произведение | это... Что такое Псевдоскалярное произведение? (original) (raw)

Псевдоскалярным[1] или косым произведением векторов $\mathbf a$ и $\mathbf b$ на плоскости называется число

$\mathbf a \wedge \mathbf b=|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|\sin\theta,$

где $\theta = \angle(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ — угол вращения (против часовой стрелки) от $\mathbf a$ к $\mathbf b$ . Если хотя бы один из векторов $\mathbf a$ и $\mathbf b$ нулевой, то полагают $\mathbf a\wedge \mathbf b=0$ . Геометрически псевдоскалярное произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора. С её помощью удобно работать с площадями многоугольников, выражать условия коллинеарности векторов и находить углы между ними.

Псевдоскалярное произведение существует только для 2-мерных векторов, его аналогом в трехмерном пространстве является тройное скалярное произведение.

Свойства

где « $\times$ » и « $\ \cdot$ » соответственно — векторное и скалярное произведение, а $\mathbf{n}$ — единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берется в случае, если правый базис на плоскости, дополненный вектором $\mathbf{n}$ , образует также правый базис; в противном случае минус.

$\mathbf a \wedge \mathbf b = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}$

Это выражение также можно записать через символ Леви-Чивиты в двумерном пространстве:

$\mathbf a\wedge \mathbf b = \sum_{i,\;j=1}^2 \varepsilon_{ij} a^i b^j$

См. также

Ссылки

↑ Прасолов В. В., Задачи по планиметрии. — 4-е изд., дополненное — М.: МЦНМО, 2001. — 584 с. ; ISBN 5-900916-82-0.