Параллелограмм | это... Что такое Параллелограмм? (original) (raw)

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства

пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, d_1 и d_2 — длины диагоналей; тогда

Доказательство

Проведя диагональ BD, мы получим два треугольника: ABD и BCD, которые равны, т.к. одна сторона у них общая, а соответственные углы при стороне BD равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB||CD , BC||AD , где BD - секущая. Из равенства треугольников следует: |AB| = |CD|, |AD| = |BC| и ∠A = ∠С Противоположные углы ∠B и ∠D также равны, т.к. они представляют собой суммы равных углов.

Наконец, углы, прилежащие к одной стороне, например ∠A и ∠D, дают в сумме 180°, так как это углы внутренние односторонние при параллельных прямых.

По теореме косинусов: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle A.$ Поскольку $\cos\angle D = -\cos\angle A$ , то $d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\angle A.$ Складывая полученные равенства:

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Если в четырёхугольнике противоположенные стороны попарно равны, то четырёхугольник параллелограмм 2. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник параллелограмм 3. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм

Площадь параллелограмма

$S = a \times h$ , где a — сторона, h — высота проведенная к этой стороне.

$S = a \times b \times \sin \alpha$ , где a и b — стороны, а $\alpha$ — угол между сторонами a и b.

$S = \frac{1}{2} AC \times BD \times \sin \angle AOB$ .

См. также

Многоугольники
По числу вершин	1-10 Одноугольник • Двуугольник • Треугольник • Четырёхугольник (Дельтоид) • Пятиугольник • Шестиугольник • Семиугольник • Восьмиугольник • Девятиугольник • Десятиугольник 11-20 Одиннадцатиугольник (англ.) • Двенадцатиугольник
Правильные	Выпуклые Треугольник • Четырёхугольник • Пятиугольник • Шестиугольник • Семиугольник • Восьмиугольник • Девятиугольник • ... • 17-угольник • ... • 257-угольник • ... • 65537-угольник Звёздчатая форма Звезды (Пентаграмма • Гексаграмма • Октаграмма)
Выпуклые	Четырёхугольники: Параллелограмм • Прямоугольник • Ромб • Трапеция Планигон
См. также	Теория и практика: Принадлежность точки многоугольнику • Теорема Бойяи — Гервина • Теорема Брахмагупты • Теорема Гаусса — Ванцеля • Формула Пика • Теорема о сумме углов многоугольника