Бицентрические координаты | это... Что такое Бицентрические координаты? (original) (raw)

Бицентрические координаты — система координат на плоскости, в которой положение точки задаётся расстояниями от двух фиксированных центров (полюсов).

Бицентрические координаты не следует путать с биполярными и с биангулярными координатами.

Канонические формулы для перевода координат (здесь подразумевается, что полюса имеют координаты $(\pm c;0)$ ):

$\left \{ \begin{matrix} x=\frac{r_1^2-r_2^2}{4c} \\ y=\pm\frac{1}{4c}\sqrt{16c^2r_1^2-(r_1^2-r_2^2+4c^2)^2} \end{matrix} \right.$

Следующие формулы переводят бицентрические координаты в полярные координаты:

$\left \{ \begin{matrix} r=\sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2-2c^2}{2}} \\ \theta=\mathrm{arctg}\left[\sqrt{\frac{8c^2(r_1^2+r_2^2-2c^2)}{r_1^2-r_2^2}-1}\right] \end{matrix} \right.$

где — расстояние между полюсами.

В общем случае, если полюса имеют произвольные координаты, формулы перевода преобразуются в:

$\left \{ \begin{matrix} x=\pm\frac{r^2+r_1^2-r_2^2}{2r}\cos\alpha\pm\frac{\sqrt{(r_1+r_2+r)(r_1-r_2-r)(r_2-r_1-r)(r_1+r_2-r)}}{2r}\sin\alpha+x_1 \\ y=\pm\frac{r^2+r_1^2-r_2^2}{2r}\sin\alpha\mp\frac{\sqrt{(r_1+r_2+r)(r_1-r_2-r)(r_2-r_1-r)(r_1+r_2-r)}}{2r}\cos\alpha+y_1 \end{matrix} \right.$ .

Где — расстояние между полюсами,

r_1 — расстояние до первого полюса,

r_2 — расстояние до второго полюса,

(x_1; y_1) — координаты первого полюса,

(x_2; y_2) — координаты второго полюса,

$\alpha=\operatorname{arctg}\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ — угол наклона прямой, проходящей через координаты (x_1, y_1); (x_2, y_2) , относительно оси абсцисс.

Получаемые по данным формулам четыре пары координат следует проверять на выполнение условия:

$\sqrt{(x-x_1)^2-(y-y_1)^2}=r_1$

$\sqrt{(x-x_2)^2-(y-y_2)^2}=r_2$

Только две пары координат из четырёх будут удовлетворять этим условиям.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Bipolar Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Системы координат
Название координат	Абсцисса · Ордината · Аппликата
Типы систем координат	Прямолинейная система координат · Криволинейная система координат
Двумерные координаты	Биангулярные координаты · Бицентрические координаты · Полярные координаты · Биполярные координаты · Параболические координаты · Тетрациклические координаты · Эллиптические координаты
Трёхмерные координаты	Цилиндрические координаты · Сферические координаты · Бисферические координаты · Тороидальные координаты · Цилиндрические параболические координаты · Бицилиндрические координаты · Трилинейные координаты · Эллипсоидальные координаты · Конические координаты · Пентасферические координаты
-мерные координаты	Декартовы координаты · Аффинные координаты · Проективные координаты · Плюккеровы координаты · Барицентрические координаты
Физические координаты	Координаты Риндлера · Координаты Борна · Система небесных координат · Географические координаты · Главноортодромическая система координат
Связанные определения	Метод координат · Начало координат · Координатная ось · Вектор · Орт · Система отсчёта · Репер · Коэффициенты Ламе · Метрический тензор