Волновое уравнение | это... Что такое Волновое уравнение? (original) (raw)

Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн.

Содержание

Вид уравнения

В общем случае волновое уравнение записывается в виде

\Delta u=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2},

где ~\Delta — оператор Лапласа, ~u=u(x,t) — неизвестная функция, ~t\in \mathbb R — время, ~x\in \mathbb R^n — пространственная переменная, ~v — фазовая скорость.

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны и записывается в виде

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.

Оператор Д’Аламбера

Разность \Delta - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} называется оператором Д’Аламбера (разные источники используют разный знак). Таким образом, волновое уравнение записывается как: \square u = 0

Неоднородное уравнение

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=v^2\Delta u + f,

где f = f(x,t) — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

u(x,t) = v(x) e^{i\omega t}\ или u(x,t) = v(x)\, \mathop{\rm cos}\,(\omega t)\ .

Решение волнового уравнения

Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны (\mathbb{R}^1) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны (\mathbb{R}^2) — формула Пуассона.

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)\quad (функция f(x,t) соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x)

имеет вид

u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}+\frac{1}{2a}\int\limits^t_0\int\limits^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)} f(s, \tau)ds d\tau

См. также

Ссылки