Модель Изинга | это... Что такое Модель Изинга? (original) (raw)
Статистическая физика |
---|
Термодинамика Молекулярно-кинетическая теория |
Статистики Максвелла-Больцмана Бозе-Эйнштейна · Ферми-ДиракаParastatistics · Anyonic statisticsBraid statistics Ансамбли Микроканонический · Канонический Большой каноническийИзотермо-изобарическийИзоэнатльпи-изобарический Открытый Термодинамика Уравнение состояния · Цикл Карно · Закон Дюлонга — Пти Модели Модель Дебая · Эйнштейна · Модель Изинга Потенциалы Внутренняя энергия · Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца потенциал Гиббса · Большой термодинамический потенциал Известные учёные Максвелл · Гиббс · Больцман |
См. также: Портал:Физика |
Модель Изинга — математическая модель статистической физики, предназначенная для описания намагничивания материала.
Каждой вершине кристаллической решётки (рассматриваются не только трёхмерные, но и одно- и двумерные случаи) сопоставляется число, называемое спином и равное +1 или −1 («поле вверх»/«поле вниз»). Каждому из возможных вариантов расположения спинов (где N — число атомов решётки) приписывается энергия, получающаяся из попарного взаимодействия спинов соседних атомов:
где — энергия взаимодействия (в простейшем случае одна и та же для всех пар соседних атомов). Иногда также рассматривается внешнее поле (часто полагаемое малым):
Затем, для заданной обратной температуры на получившихся конфигурациях рассматривается распределение Гиббса: вероятность конфигурации полагается пропорциональной , и исследуется поведение такого распределения при очень большом числе атомов .
Например, в моделях с размерностью, большей 1, имеет место фазовый переход второго рода: при достаточно низких температурах большая часть спинов ферромагнетика (J>0) будет ориентирована (с близкой к 1 вероятностью) одинаково, а при высоких почти наверняка спинов «вверх» и «вниз» будет почти поровну. Температура, при которой происходит этот переход (иными словами, при которой исчезают магнитные свойства материала), называется критической, или точкой Кюри. В окрестности точки фазового перехода ряд термодинамических характеристик расходится. Опыт показывает, что расходимость имеет универсальный характер, и определяется лишь симметрией системы. Впервые критические индексы расходимостей были получены для двумерной модели Изинга в 40-х годах Онсагером. Для остальных размерностей исследования проводятся с помощью методов компьютерного моделирования, ренормгруппы. Обоснованием применения ренормализационной группы в данном случае являются блочное построение Каданова и термодинамическая гипотеза подобия.
Введенная изначально для понимания природы ферромагнетизма, модель Изинга оказалась в центре разнообразных физических теорий, относящихся к критическим явлениям, жидкостям и растворам, спиновым стеклам, клеточным мембранам, моделированию иммунной системы, различным общественным явлениям и т.д. Кроме того, эта модель служит полигоном для проверки методов численного моделирования различных физических явлений.
Алгоритм реализации модели Изинга методом Монте-Карло на компьютере
- Создать решётку спинов (двумерный массив), спины ориентированы произвольно.
- Выбрать случайно одну из клеток решётки, стереть значение в ней.
- Вычислить энергии конфигураций при заполнении этой клетки спином вверх и вниз (либо при всех возможных состояниях, если их больше двух).
- Выбрать один из вариантов для «стёртого» спина случайно, с вероятностью, пропорциональной , где — энергия в соответствующем состоянии. (Поскольку все слагаемые, не затрагивающие данный спин, одни и те же, на самом деле вычислять нужно только суммы по соседям).
- Возвращаемся в пункт 2; по выполнении достаточного числа итераций (определение этого — отдельная и непростая задача) цикл прекращается.
См. также
- Станислав Смирнов — лауреат Филдсовской премии (2010) «за доказательство конформной инвариантности двумерной перколяции и модели Изинга в статистической физике».
Литература
- Мейлихов Е.З. Трагическая и счастливая жизнь Эрнста Изинга // Природа, 2006. -№ 7. http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/NATURE/07_06/ISING.HTM
- Р. Бэкстер (англ.)русск., Точно решаемые модели в статистической механике, М.: Мир, 1985