Статистика Ферми — Дирака | это... Что такое Статистика Ферми — Дирака? (original) (raw)

Статистическая физика
$S = k_B \, \ln\Omega$
Термодинамика Молекулярно-кинетическая теория Статистики Максвелла-Больцмана Бозе-Эйнштейна · Ферми-ДиракаParastatistics · Anyonic statisticsBraid statistics Ансамбли Микроканонический · Канонический Большой каноническийИзотермо-изобарическийИзоэнатльпи-изобарический Термодинамика Уравнение состояния · Цикл Карно · Закон Дюлонга — Пти Модели Модель Дебая · Эйнштейна · Модель Изинга Потенциалы Внутренняя энергия · Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца потенциал Гиббса · Большой термодинамический потенциал Известные учёные Максвелл · Гиббс · Больцман

Распределение Ферми — Дирака как функция от $\scriptstyle{\varepsilon/\mu}$ , построенная для 4-х различных температур. С ростом температуры ступенька размывается.

Статистика Фе́рми — Дира́ка в статистической физике — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одна и та же частица не может занимать более одного квантового состояния); определяет статистическое распределение фермионов по энергетическим уровням системы, находящейся в термодинамическом равновесии; предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл; позволяет найти вероятность, с которой фермион занимает данный энергетический уровень.

Работы по статистике Ферми — Дирака были опубликованы в 1926 году, а в 1927 она была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц в состоянии с энергией $\varepsilon_i$ есть

$n_i=\frac{g_i}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)+1},$

где

n i — среднее число частиц в состоянии i,

$\varepsilon_i$ — энергия состояния i,

g i — кратность вырождения состояния i (число состояний с энергией $\varepsilon_i$ ),

μ — химический потенциал (который равен энергии Ферми E F при абсолютном нуле температуры),

k — постоянная Больцмана,

T — абсолютная температура.

В (идеальном) ферми-газе в пределе низких температур μ = E F. В этом случае (полагая уровни энергии невырожденными g i = 1), функция распределения частиц называется функцией Ферми:

$F(E)=\frac{1}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon_i-E_F}{kT}\right)+1}.$

Распределение Ферми — Дирака как функция температуры. Заполнение уровней с энергиями $\scriptstyle{\varepsilon>\mu}$ растёт с увеличением температуры.

Применение

Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна применяются в том случае, когда необходимо учитывать квантовые эффекты, когда частицы обладают «неразличимостью». Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц $N/V\geqslant n_q$ (где n q — квантовая концентрация).

Квантовая концентрация — это концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть когда волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры. Статистика Ферми — Дирака (Ф — Д) применяется к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), статистика Бозе — Эйнштейна (Б — Э) применяется к бозонам. Оба этих распределения становятся распределением Максвелла — Больцмана при высоких температурах и низких концентрациях.

Распределением Максвелла — Больцмана часто описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурация частицы A в состоянии 1 и частицы B в состоянии 2 отличается от конфигурации частицы B в состоянии 1 и частицы A в состоянии 2. Когда эта идея была проработана полностью, оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно, как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы. И Ф — Д, и Б — Э приближаются к статистике Максвелла — Больцмана в пределе высоких температур и низких плотностей. Статистика Максвелла — Больцмана хорошо описывает поведение газов. Ф — Д часто используется для описания электронов в твердых телах, на ней, к примеру, базируются основные положения теории полупроводников в частности и электроники в целом.

Вывод распределения

Распределение Ферми — Дирака как функция от $\scriptstyle{\varepsilon}$ . Высокоэнергетические состояния имеют меньшую вероятность. Или, низкоэнергитические состояния более вероятны.

Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Энергия такой частицы равна $\varepsilon$ . Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид

Z =	∑	e − (E(s) − μ_N_(s)) / k T,
s

где

E(s) — энергия состояния s,

N(s) — число частиц, находящихся в состоянии s,

μ — химический потенциал,

s — это индекс, пробегающий все возможные микросостояния системы.

В данном контексте, система имеет фиксированные состояния. Итак, если какое либо состояние занято n частицами, то энергия системы — $n\cdot\varepsilon$ . Если состояние свободно, то энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и тоже физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся _s_1 и _s_2 соответственно. Видно, что $E(s_1)=\varepsilon$ , N(_s_1) = 1, и E(_s_2) = 0, N(_s_2) = 0. Поэтому функция распределения принимает вид:

$Z=\sum_{i=1}^2 e^{-(E(s_i)-\mu N(s_i))/kT}=e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1.$

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии _s_α вычисляется по формуле

$P(s_\alpha)=\frac{e^{-(E(s_\alpha)-\mu N(s_\alpha)}}{Z}.$

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии _s_1, вероятность которого

$\bar{n}=P(s_1)=\frac{e^{-(E(s_1)-\mu N(s_1))/kT}}{Z}=\frac{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}}{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1}=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.$

$\bar{n}$ называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры T, $\bar{n}(\varepsilon)$ есть вероятность того, что состояние с энергией $\varepsilon$ будет занято фермионом. Обратите внимание, что $\bar{n}$ является убывающей функцией от $\varepsilon$ . Это соответствует нашим ожиданиям: высокоэнергетические состояния занимаются с меньшей вероятностью.

Обратите внимание, что энергетический уровень $\varepsilon$ имеет вырождение $g_\varepsilon$ . Теперь можно произвести простую модификацию:

$\bar{n}=g_\varepsilon\cdot\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.$

Это число — ожидаемое число частиц, в суммарном состоянии с энергией $\varepsilon$ .

Для всех температур T, $\bar{n}(\mu)=\frac{1}{2}$ . Это означает, что состояния с энергией μ всегда будут иметь одинаковую вероятность быть заполненными или свободными.

В пределе $T\to 0$ , $\bar{n}$ становится ступенчатой функцией (см. первый график). Все состояния с энергией меньше химического потенциала μ будут заняты с вероятностью 1. Состояния с энергией выше химического потенциала μ будут свободны. Химический потенциал при нулевой температуре — энергия Ферми, обозначается E F, то есть E F = μ(T = 0).

Влияние температуры

Необходимо заметить, что химический потенциал зависит от температуры. Однако для систем, имеющих температуру ниже температуры Ферми $T_F=\frac{E_F}{k_B}$ , что часто используется, как аппроксимация $\mu\approx E_F$ . В реальности же:

$\mu=E_F\left[1-\frac{\pi^2}{12}\left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^2+\frac{\pi^4}{80}\left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^4+\ldots\right].$

Другой вывод

См. также

Ссылки

Термодинамические состояния вещества
Твёрдое тело	Аморфное • Кристаллическое • Аэрогель (температура плавления • сублимация)
Жидкость	Жидкость • Электролит • Расплавы (критическая точка • температура кипения)
Газы	Газ • Пар
Плазма	Кварк-глюонная плазма
См. также
Сверхкритическая жидкость • Вырожденное вещество • Статистика Ферми — Дирака • Конденсат Бозе — Эйнштейна • Странная материя • Уравнение состояния • Кривая охлаждения • Квантовая жидкость • Термодинамическая фаза • Фазовый переход • Теория катастроф • Твёрдый гелий • λ-точка • Дисперсные системы (раствор • коллоид • грубодисперсная система • свободнодисперсная коллоидная система (дым • золи)) • Термодинамические фазы квантовой жидкости (сверхтекучесть • сверхтекучее твёрдое тело)