Норма (теория полей) | это... Что такое Норма (теория полей)? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Норма.

Но́рма — отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение K степени n=[E:K], α — какой-нибудь элемент из E. Он определяет линейное преобразование на E:x→αx. Этому преобразованию в некотором базисе e1,e2...en соответствует матрица A:

(αe1,αe2...αen)=(e1,e2...en)*A. Определитель этой матрицы называется нормой элемента α. Так как для другого базиса данному отображению будет соответствовать подобная матрица A'=CAC-1 с тем же определителем det(A)=det(A'), то норма не зависит от выбранного базиса. Она обозначается NKE(α)

Свойства

• _NKE(α)=_0 тогда и только тогда, когда _α_=0
• NKE(α)=α[E:K] для любого αÎK
• NKE(αβ)=NKE(α)NKE(β), в частности является гомоморфизмом группы ненулевых элементов поля E* в группу K*
• Для башни КÌ EÌ F имеем: NKE(NEF(α))=NKF(α) (транзитивость нормы)
• Если E=K(α) и f(x)=xn+an-1xn-1+...+a1x+a0 - неприводимый многочлен для α то NKK(α)(α)=(-1)na0

Выражение нормы через изоморфизмы E над K

Пусть σ1,σ2...σm — все изоморфизмы E в алгебраическое замыкание поля K, являющиеся изоморфизмами над K то-есть оставляющие неподвижными все элементы K. Если E сепарабельно то m равно степени [E:К]=n . Тогда для нормы существует следующее выражение:

NKE(a)=σ1(a)σ2(a)...σn(a)

Если E несепарабельно то m≠n — степени [E:K], в этом случае n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p.

Тогда NKE(a)=(σ1(a)σ2(a)...σm(a))n:m

Пример

Пусть R — поле вещественных чисел, C — поле комплексных чисел, рассматриваемое как расширение R. Тогда норма элемента a+bi будет равна a²+b²

См. также

• Норма алгебраического числа
• След (теория полей)

Литература

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967